Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Список частичных гамильтонианов приведен в [6], [64].
У гамильтониана общего положения все собственные числа простые. Простой вещественной паре (а, —а) соответствует частичный гамильтониан 36=—apxqu простой чисто мнимой паре (ib, —ib) — гамильтониан 3? = ±b(pl2 + qx2)l2 (гамильтонианы с верхним и нижним знаком не переводятся друг в друга), четверке (±a±ib) — гамильтониан 36 = —a(p\q\+p2q2)+b(pxq2— —/>2<7і). Для мнимой пары часто используются симплектические полярные координты р, q>: p = V2pcos<p, </ = y2psin<p. Тогда гамильтониан Зв=±Ьр.
Следствия. 1. Пусть имеется простое чисто мнимое собственное число A. = Ito- Тогда система может совершать периодическое колебание вида 2 = Re(?exp (/о)(/-И0))), где ! — соответствующий собственный вектор: (hl—ia>E2„)l = 0. Это движение называется собственным колебанием, aw — собственной частотой.
2. Если все собственные числа различные и чисто мнимые, то гамильтониан приводится к нормальной форме
270 Д-®і(Рі«+<7і2)/2+ ... +(u„(PnJ+<7n2)/2 (4)
или, в симплектических полярных координатах, Н = ы,рх+... . . . +й)„р„. Движение является суммой собственных колебаний.
Замечание. Если гамильтониан имеет вид (4), то равновесие устойчиво независимо от того, положительно определен гамильтониан или нет (для лагранжевой натуральной линейной системы равновесие устойчиво только при положительно определенной полной энергии).
Часто бывает необходимо рассматривать не индивидуальный гамильтониан, а семейство, зависящее от параметров. В таком семействе при некоторых значениях параметров могут возникать, и притом неустранимым малым шевелением семейства образом, особенности: кратные собственные числа и, соответственно, жордановы клетки порядка большего 1 у матрицы системы. В [64] для любого конечного / указаны особенности, возникающие неустранимым образом в /-параметрическом семействе квадратичных гамильтонианов. Вычислены также вер-сальные деформации этих особенностей — нормальные формы, к которым можно привести в окрестности особых значений параметров любое семейство гладко зависящих от параметров квадратичных гамильтонианов с помощью гладко зависящей от параметров симплектической линейной замены переменных. В частности, в однопараметрическом семействе гамильтонианов встречаются, вообще говоря, только следующие три особенности: двукратная вещественная пара (±а)2 с двумя жордано-выми клетками порядка 2, двукратная мнимая пара (±іЬ)г также с двумя жордановыми клетками порядка 2, двукратное нулевое собственное число (О)2 с одной жордановой клеткой порядка 2. Версальные деформации этих особенностей следующие:
(±а)2 : <30= —(а + б2) (р\Я\ + ргЯ2) +/>і<72 + 6і/>2<7і, (5)
(dzib)2 : = ±(/7,2+/>22)/2+ (b + f>2) (РзЯі-ріЦі) + 6,(^ + ^)/2,
(О)2 : <30=±/7,2/2 + бі<7іг;2. Здесь б,, бг — параметры деформации.
§ 3. Нормальные формы гамнльтоновых систем около равновесия
3.1. Приведение к нормальной форме. Пусть начало координат—положение равновесия аналитической гамильтоновой системы с п степенями снобі . ' !Tyi-ь все собственные чистя квадратичной части гамтммис' п я и окрестности равновесия различные и чисто мннуьч . В сі'«гпнєт."и;іі" со сказанным в § 1
271 и п. 2.2, гамильтониан представим в виде
// = (U,(P,2+<7,»)/2+ ... +(й«(рп»+<7п2)/2+Яз+Я4+ (6)
где Hm — форма степенн m от фазовых переменных р, q. (Среди частот <о< могут быть и отрицательные).
Определение. Собственные частоты щ,..., ш» удовлетворяют резонансному соотношению порядка />О, если существуют целые числа ku для которых fci(i)i + ... +A«(i),=0,
|Ai|+ ... + IM-/.
Определение. Нормальной формой Биркгофа степени L для гамильтониана называется многочлен степени L от симплектических фазовых переменных P1 Q, являющийся в действительности многочленом степени [L/21 ОТ переменных Pi = = (Pi2+Qt2) 12.
Пример 2. Для системы с двумя степенями свободы нормальной формой Биркгофа степени 4 будет
H = (I)IPi+ (u2p2 + <olipij + 2(u|2pip2 + <u22p22. (7)
Квадратичные по р члены описывают зависимость частот колебаний от амплитуд. А
Теорема 6 (Биркгоф [22]). Предположим, что собственные частоты (i)< не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка L и меньше. Тогда существует такая симп-лектическая замена переменных р, q*+P, Q в окрестности положения равновесия, что в новых переменных функция Гамильтона приводится к нормальной форме Биркгофа степени L с точностью до членов степени L+1:
Н(р, q)=3fgL(v)+R, tf = 0(|/>| + |Q|)«-4 (8)
Отбрасывая в (8) ненормализованные члены, получаем интегрируемую систему, переменными действие — угол являются симплёктические полярные координаты р(, <р<:
Pl-Vlfocosq,, Q1 = V^Sin Ф„ (?)
траектории обматывают торы р=Const с частотами d3?jdp. Большая часть этих торов в общем случае существует и в исходной системе; это вытекает из результатов теории KAM (гл. 5, п. 3.5 Б).
Нормализация Биркгофа сводится к процедуре исключения быстрых фаз Линдштедта (гл. 5, п. 2.2), если нормировать отклонения от равновесия малой величиной г(р=гр, q=tq, # = = HIz2) и перейти к симплектическим полярным координатам.
