Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 100

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 117 >> Следующая


Таким образом, задача о полной интегрируемости гамнльтоновых систем в комплексной области сводится к исследованию интегрируемости линейных канонических систем.

Следуя А. М. Ляпунову, С. Л. Зиглии применил эти результаты к задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Оказалось, что дополнительный голоморфный (и даже мероморфный) интеграл существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина.

С помощью этого метода можно доказать неинтегрируемость гамильтоновой системы Хэнона — Хейлеса (пример 2, п. 1.3 гл. 5) не только в комплексной, но и в действительной области. Аналогичный результат справедлив для однородной двухкомпо-нентной модели уравнений Янга—Миллса, описываемой гамильтоновой системой с гамильтонианом

H=\(р.2 + р22) +д&2*.

Более трудный вопрос о существовании дополнительного вещественного аналитического интеграла при произвольном распределении масс в твердом теле остается пока открытым.

263 Замечание. В последнее время вновь возродился интерес к интегрированию дифференциальных уравнений механики в fl-функциях (так называемая «алгебраическая интегрируемость») Отыскание необходимых условий алгебраической интегрируемости следует методу С. В. Ковалевской, примененному ею в 1888 году в динамике твердого тела. С современным состоянием этих вопросов можно познакомиться по работам [65, 136, 137].

§ 6. Топологические и геометрические препятствия к полной интегрируемости натуральных систем с двумя степенями свободы

Согласно результатам вариационного исчисления, любой одномерный замкнутый цикл на многообразии положений можно реализовать в виде траектории периодического решения достаточно большой фиксированной энергии. С другой стороны, почти все периодические решения вполне интегрируемой системы с п степенями свободы расположены на л-мерных торах, объединенных в гладкие семейства. Таким образом, достаточное сложное топологическое строение многообразия положений натуральной системы является препятствием к ее полной интегрируемости. Эту идею удается полностью реализовать в случае двух степеней свободы.

6.1. Топология пространства положений интегрируемой системы. Пусть M— связная, компактная, ориентируемая, аналитическая поверхность, которая служит пространством положений натуральной механической системы с двумя степенями свободы. Хорошо известно топологическое строение таких поверхностей — это сферы с некоторым числом и приклеенных ручек. Число X — топологический инвариант — называется ее родом.

Пространство состояний — расслоенное пространство TM— имеет естественную структуру четырехмерного аналитического многообразия. Будем считать, что лагранжиан L = T+V является аналитической вещественной функцией на TM. На траекториях уравнения движения [Ll=O полная энергия H = T-V, разумеется, постоянна.

Теорема 19. Если род M больше 1 (т. е. M иегомеоморф-на сфере S2 и тору T2), то уравнение движения не имеет первого интеграла, аналитического на TM и независимого от интеграла энергии.

Хорошо известны многочисленные примеры интегрируемых систем с пространством положений S2 или T2. В бесконечно дифференцируемом случае теорема 19 не справедлива: для любой гладкой поверхности M можно указать «натуральный» лагранжиан L такой, что уравнение Лагранжа [LI=O на TM имеет гладкий интеграл, независимый (точнее, не всюду зависимым) с функцией H (см. [131).

264 Террема 19 является следствием более сильного утверждения, устанавливающего неинтегрируемость уравнения движения при фиксированных достаточно больших значениях полной энергии. Точная формулировка состоит в следующем. При всех h>h* = maxM(—V) множество уровня полной энергии Mh = = {H = h} является трехмерным инвариантным аналитическим многообразием, на котором естественно возникает аналитическое дифференциальное уравнение. Это уравнение будем называть приведенным. Справедлива

Теорема 20. Если род M больше 1, то при всех h>h* приведенное уравнение на Mh не имеет первого интеграла, аналитического на всем Mh (см. [13]).

Замечание. Теоремы 19—20 справедливы и в неориенти-руемом случае, если дополнительно исключить проективную плоскость RP2 и бутылку Клейна К. Действительно, стандартное регулярное двулистное накрытие N-*-M, где N — ориентируемая поверхность, индуцирует натуральную систему на N, которая обладает дополнительным интегралом, если новый интеграл есть у системы на М. Остается заметить, что род поверхности N больше 1, если M негомеоморфна RP2 и К. А

Пусть k — гауссова кривизна римановой метрики Мопертюи (ds)2 = 2{h + V)T(dt)2 на М. Согласно формуле Гаусса—Бонне (Р. О. Bonnet):

[ kda = 2я/ (M)t Af

где х(М)—эйлерова характеристика компактной поверхности М. Если род M больше 1, то х(М)<0 и> следовательно, гауссова кривизна в среднем отрицательна. Если кривизна отрицательна всюду, то динамическая система на Mh будет У-системой и, в частности, эргодической на Mh (см. [3]). Эти заключения справедливы и в многомерном случае (нужно только потребовать отрицательность кривизны по всем двумерным направлениям). При этом дифференциальное уравнение на Mh не имеет даже непрерывного интеграла, поскольку почти все траектории всюду плотны на Mh- Конечно, кривизна, отрицательная в среднем, далеко не всегда будет отрицательной всюду.
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed