Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
“ проективные реперы в этих пространствах (см.
упр. 4)/
a) Покажите, что существует не менее одной томографии <р: Р (Е) -> Р (У7), такой, что ф(Л,) = Б, для всех и
b) Покажите, что такая гомография единственна тогда и только тогда, когда тело К коммутативно. (Это обобщение ?теоремы IV. 8.1, известное как «первая основная теорема проективной геометрии».)
6. (Обобщение понятий проектирования и гомологии.) Пусть I3 (Е) — проективное пространство и X, У — два взаимно дополнительных ВПП пространства Е. Положим 0 = Р (Е) \ (Р (X) и
ир(П).
УПРАЖНЕНИЯ
285
a) Покажите, что через любую точку М е U проходит «единственная проективная прямая Дм, пересекающая Р (X) и Р (У). (Указание: выберите z^p~l(M) и разложите z в 2 « « X + у, где X €= X, у €= У.)
b) Для любого k е /( обозначим через ср* морфизм, индуцированный полулинейным отображением fk, таким, что /*(*) = = /гх для х ? X и fk(y) = у для у ? Y. Покажите, что для любой точки М ? U образ ср*(М) лежит на прямой Дм, и постройте геометрически cpk(M) при k = 0 и k = —1 (при k = О это будет обобщением примера 1 из § 3, а при k = —1 — обобщением гармонических гомологий).
c) Если К — поле, покажите, что [Z5, Q, Л1, ф*(Л1)] = k, где Р, Q — точки пересечения Дм с Р (X), Р (У).
7. Пусть <§Г, —? два аффинных пространства над одним и тем же телом К, & и <§Г'—? их проективные пополнения и <р:
такая гомография, что ср ($* ) = <^оо-
a) Покажите, что ограничение ср на & является полуаф-«финной биекцией, ассоциированной с внутренним автоморфизмом тела К. (Полагая & = Р (В), = Р (В') и считая ф индуцированным линейным отображением /: Е-+Е', можно
отождествить ?Г, соответственно с гиперплоскостями в Е, В' п доказать существование такого k е /С*, что /г/ переводит <§Г о <Г.)
b) Получите тот же результат в случае конечной размерности /г, используя в & и Ш' однородные координаты, в которых уравнение бесконечно удаленной плоскости имеет вид
Хп+1 == 0.
c) В случае <§?' = & покажите, что <р является гомологией (соотв. гармонической гомологией, элацией) гиперплоскости &оо тогда и только тогда, когда ее ограничение на ? является гомотетией (соотв. центральной симметрией, трансляцией).
8. Покажите, что в проективном пространстве композиция двух гармонических гомологий с общей гиперплоскостью и различными центрами является элацией. Обратно, в случае когда характеристика основного тела Ф 2, покажите, что каждая элация может быть представлена как произведение двух гармонических гомологий (см. упр. II. 14).
*9. Пусть Л, В, Л', В' — четыре точки проективной плоскости П, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Покажите, что существуют единственная гармоническая гомология и единственная элация, переводящие (Л, В) в (Л', В'). (Можно предположить, что характеристика тела Ф2.)
10. Пусть Р (Е) — проективное пространство размерности ^2, J27 — проективная гиперплоскость, S — точка Р (Е) и Л, Л' — две точки в P(B)\J?, коллинеарные с S и отличные от S. Покажите, что существует единственная гомология или элация ф пространства Р (В) с центром S и гиперплоскостью j?, такая, что ф(Л) = Л',
286
УПРАЖНЕНИЯ
Указания. Единственность ср получается из «правил перспективы» (см. конец § 3). Для доказательства существования ф можно отправить 9? в бесконечность, и тогда дело сведется к отысканию дилатации аффинного пространства Р (Е) \ 2? (см. упр. 7). Можно также воспользоваться упражнением II. 14 для построения автоморфизма Е, индуцирующего ф.
Приложение. Пусть ЕВ' — две проективные гиперплоскости проективного пространства Р (Е) и 5, 5' — две точки в Р (Е) \ (&[)&'). Обозначив через р проектирование 9? на 9?г из центра 5, а через ц — проектирование 3?' на 2? из центра 5', дайте строгое доказательство того, что ц ° р есть гомология шш элация 2?.
11. В проективной плоскости П два треугольника (ЛВС) п (А'В'С') расположены так, что прямые (ЛЛ'), (ВВ') и (СС') различны и пересекаются в одной точке. Покажите, что теорема Дезарга равносильна существованию гомологии или элации, переводящей (ЛВС) в (А'В'С'). (Воспользуйтесь предыдущим упражнением.)
12. (Обобщение теоремы Дезарга.) Пусть Р (?) есть п-мерное проективное пространство и (Л0, ..., Ап) (соотв. (Л0, ..., Л„)) —? система п + 1 точек, не принадлежащих одной гиперплоскости, таких, что А'кФАк при всех /г, и прямая (Л^Л^) не содержит ни одной из точек Лл, Л^ при Ьфк. Предположим также, что» при \гф1г прямые (АкАн) и (Л^Л^) имеют одну общую точку
и вс^ точки Рин лежат в одной гиперплоскости 9?.
a) Покажите, что все прямые (Л^Л^) имеют общую точку 5*.
b) Выведите отсюда, что существует такая гомология или
элация ф с центром 5 и гиперплоскостью 2?, чтоф (Л^) = Ак длн всех
13. Пусть ф — гомография проективного пространства Р (Е)г оставляющая неподвижной каждую точку некоторой гиперплоскости ^ и не совпадающая с тождественным отображением; допустим еще, что сПт Р (Е) ^ 2.
a) Покажите, что каждая проективная прямая Д, содержащая точку МеР(?)\«^ вместе с ее образом при ф, переходит в себя.
b) Пусть Л, В — две точки в Р (Е)\2? и Л', В'— их образы. Покажите, что прямые (АВ) и (А'В') пересекают 9?
