Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 84

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 95 >> Следующая

c) В случае когда прямые (ВС) и (В'С') параллельны, но точки Q и R существуют, покажите, что прямая (QR) параллельна (ВС).
15. (Теорема Менелая о полном четырехстороннике.) Пусть (ЛВС) — треугольник в аффинной плоскости к и Р, Q, В —
точки, заданные условиями ВР ==* ЯСР, CQ = \iAQ, AR — vBB, где X, р, V—ненулевые скаляры. Обозначим через р, q, г гомотетии с центрами соответственно в Р, Q, R и коэффициентами Я, р, v.
a) Покажите, что p°<7or = Idg тогда и только тогда, когда Яру = 1, и выведите из этого, что приведенное условие равносильно коллинеарности точек Р, Q, R.
b) Предположив коллинеарность точек Р, Q, В, покажите,
*) Это доказательство — аффинный вариант данного в § IV. 10. Заметим, что здесь нет предположения о двумерно-сти <?,
УПРАЖНЕНИЯ
28$
что середины а, (3, у отрезков [АР], [ВС}] и [СР] также кол-линеарны. (Если Лру = 1, то можно положить К — ъ~1хю, р =*= = до-1«, V — и~1у и доказать, что для любой точки Ое<^
выполнено (до — г;) Оа + (и — до) 0(3 + (V — и) Оу — 0.)
16. (Теорема Паппа.) Пусть в аффинной плоскости над некоторым полем (Л, В, С) и (А', В', С')—две тройки коллинеарных точек, расположенные соответственно на прямых 3), 3)', пересекающихся в О (случай параллельности прямых 3), 3)' разобран в упр. 11).
a) Выбрав декартов репер (О, /, /) с началом О, такой, что г имеет направление ^), а / — направление ?2)', положим О А = = ОВ = (Г‘. ОС = У~\ Ш = а~\ Ш=?'-\ ОС'= = у,_1. Напишите уравнения прямых (АВ') и (ВА') и найдите координаты точки их пересечения Р.
b) Аналогичным образом найдите координаты точек Р = = (ВС') П (СВ') и (3 — (СА') П (АС') и проверьте, что (рр' —
— уу') ОР + (уу' — аа') 0(3 + (аа' — рр') Ор = 0. Выведите отсюда заключение о коллинеарности точек Р, О, Р.
17. Пусть / — аффинная биекция аффинного евклидова пространства <8 на себя. Предположим, что существует сфера 5 с центром А и радиусом Р, образом которой также служит сфера 5' с центром А' и радиусом Р'. Покажите, что А' — {(А) и что линейная часть / есть преобразование подобия. Выведите отсюда, что / — аффинное преобразование подобия.
18. Пусть ^ — множество, состоящее из окружностей ненулевого радиуса и прямых евклидовой плоскости <8.
a) Покажите, что элемент — прямая тогда и только тогда, когда для любой пары (А, В) точек 8 существует элемент из %, проходящий через А и В и имеющий с А не более одной общей - точки. (Если д — окружность, возьмите в качестве А внутреннюю, а в качестве В — внешнюю точку относительно А.)
b) Пусть \ — биекция & на <8, преобразующая всякую прямую или окружность снова в прямую или окружность. Покажите, что при этом условии / переводит прямые в прямые и окружности в окружности (воспользуйтесь предыдущим упражнением).
ГЛАВА IV
Проективные подпространства и проективные морфизмы
1. Пусть Р(?)—проективное пространство размерности п и X, У— два его проективных подпространства, таких, что целое р — dim(Ar) + dim (У) ^ п. Покажите, что X Г) У не пусто и dim(Arf)y) ^ Р — п (воспользуйтесь упр. II. 2).
2. Пусть Р (?) есть n-мерное проективное пространство над те-
11*
284
УПРАЖНЕНИЯ
лом К. Покажите, что отображение, определяемое в однородных координатах при заданном автоморфизме тела 0 условием (А'о, ..Хп) н—> (0 (Ао), ..0 (Хп)), является полупроективным.
3. а) Пусть X — подмножество проективного пространства Р (Е). Покажите, что существует проективное подпространство Р (Е) — обозначим его содержащее X и такое, что любое проек-
тивное подпространство Р (Е), содержащее X, содержит также и Ь(Х) (мы говорим, что Ь(Х) есть проективное подпространство в Р (Е), порожденное X).
b) Покажите, что если И —- проективная гиперплоскость и точка Л е Р (?) \ Я, то Н[){А} порождает Р (Е).
c) Покажите, что п-мерное проективное пространство Р(Б) не может быть порождено конечным подмножеством мощности ^ п и что {А0, Ль Ап) порождает Р (Е) тогда и только тогда, когда п + 1 точек Л,- не лежат в одной проективной гиперплоскости.
4. (Проективные реперы.) Пусть Е— векторное /(-пространство размерности я + 1. Назовем проективным репером пространства Р (Е) систему (Л0, Аи ..., Ап+1) из п -(- 2 точек, никакие «4-1 из которых не лежат в одной проективной гиперплоскости.
a) Покажите, что в Е существует базис (е()0<*•<„, такой, что /?(?/)= Л* для г = 0, 1и р(е0 4-... + еп) = Ля+1;
установите, что любой другой базис, удовлетворяющий тем же
условиям, имеет вид гДе Выведите отсюда,
что однородные координаты в Р (Е) относительно этого базиса
зависят только от выбора точек Л/ (0 ^ + 1). Их назы-
вают однородными координатами в проективном репере (Л*).
b) Пусть & — аффинное п-мерное пространство над телом К, (Л0, Ап)—аффинный репер в ^ и Л„+1 — эквибарицентр точек Ло, ..., Ап (лежащий в бесконечности, если п кратно характеристике тела К). Покажите, что (Л0, ..., Ля+1) является проективным репером <8 и что однородные координаты относительно этого репера суть продолжения барицентрических координат <8 в аффинном репере (Л0, Ап).
5. Пусть Р (/?), Р (У7) — два проективных пространства одинаковой размерности п над одним и тем же телом К и (^)0<г</г+1>
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed