Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 83

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 95 >> Следующая

a) Покажите, что / ° т ° f'1 есть трансляция на вектор ф(и), и выведите отсюда условие перестановочности / и т.
b) Воспользуйтесь этим результатом для построения инво-лютивных аффинных биекций <8 в случае основного тела характеристики 2 (обратитесь к упр. II. 4 и используйте то, что трансляции и трансвекции инволютивны).
6. Пусть ?T — аффинное пространство над телом характеристики Ф2 и s — аффинная симметрия <8 в направлении W относительно ЛАМ Y.
a) Покажите, что если т — трансляция на вектор и е W, то s ° т и т ° s являются аффинными симметриями.
b) Пусть f— аффинная биекция 8 с инволютивной линейной частью. Покажите, что f получается как коммутативное произведение аффинной симметрии и трансляции на вектор иш инвариантный при действии L(f) (примените пункт а) предыдущего упражнения).
7. Пусть (8 — аффинное пространство над телом характеристики 2. Покажите, что если (ABCD) — параллелограмм, то каждая его вершина является эквибарицентром трех остальных. Получите отсюда доказательство части Ь) теоремы III. 5.4.
8. Пусть <8 — аффинное пространство и f: & -*?& — такое инъективное отображение, что для любой пары (А, В) различных точек прямая ()) параллельна прямой (АВ). Покажите, что
a) если А, В — такие две точки <8, что прямые (А/(А)) и (Bf(B)) пересекаются в точке /, то / есть неподвижная точка отображения f;
b) если / — неподвижная точка f, то прямые, проходящие через /, сохраняются при отображении f п f есть гомотетия с центром /;
c) если f не допускает неподвижных точек, то f — трансляция.
9. Пусть Е — векторное пространство и Я — его аффинная гиперплоскость, не проходящая через начало. Покажите, что на Е существует единственная линейная форма А, такая, что Н = = h~l (1).
10. а) Пусть кду hB — две гомотетии аффинного пространства отличные от Idg, с различными центрами А, В. Покажите, что
УПРАЖНЕНИЯ
28!
кв ° кА является гомотетией, центр которой лежит на прямой (АВ), или трансляцией на вектор гг, параллельный этой прямой* Покажите также, что кд и кв не коммутируют.
Ь) Покажите, что гомотетия кфЫ% не может коммутировать с трансляцией
11. Пусть три гомотетии р, д, г с различными центрами Р, (3, ^ аффинного пространства & удовлетворяют условию рдг = грд> или рдг — гдр, причем композиция рд не является трансляцией.
Покажите, что Р, (3, Р лежат на одной прямой (первый случай прос-г; для исследования второго следует различать две возможности: первая, когда рдг— гомотетия, центр которой можно определить по центрам А, В гомотетий (рд), (др), и вторая, когда рдг — трансляция).
Приложение. Пусть основное тело К коммутативно, 3), —
пара параллельных прямых, А, В, С — три точки на 3) и Л', В', С' — три точки на <2>'. Докажите, что точки Р = (ВС') П п (СВ'), <3 = (СА') п (АС') и Р = (АВ') П (ВА'), если они существуют, принадлежат одной прямой (примените гомотетию р* с центром Р, переводящую В в С', и аналогичные гомотетии д, г с центрами б, Р и докажите, что рд~1г = гд~1р; это есть специальный случай теоремы Паппа, см. § IV. 11).
12. В аффинном пространстве ассоциированном с векторным пространством Е, дано конечное семейство (А^ Я^е/ взвешенных точек, для которых ^ Я^ — 0.
ге/
а) Покажите, что функция Лейбница $ -> Е, М \—> I—> ^ %{МА{ постоянна.
b) Постройте систему из трех точек А, В, С, снабженных
ненулевыми массами Я, р,, V, такую, чтобы функция М I—> ЯМЛ-(-
+ \хМВ 4- vЛ^C была всюду равна нулю (точки А, В, С должны быть коллинеарны).
c) Докажите предложение: для того чтобы п + 1 точек Ло, ..., Ап в & принадлежали одному ЛАМ размерности*
—1, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные нулю одновременно скаляры Я0, . . . , Я«, такие, что функция
вать векторную структуру с началом Ло).
13. Пусть — евклидово аффинное пространство. Каждому конечному семейству (Л^, Я^е-/ взвешенных точек сопоставим вторую функцию Лейбница <р: & -> Р, М«—> ^ Я^МЛ^.
п
равна нулю тождественно (можно использо-
ШІ
П Ж. Лелон-Ферран
282
УПРАЖНЕНИЯ
a) Покажите, что если Я^О и G — барицентр семейства,
ie=/
тс
(VM <= <Г) ф (Af) = ( ^ Яг-) Ж?2 + ф (G).
b) Покажите, что при ]Г Я* = 0 функция ф постоянна.
г'бЕ/
В каком случае она равна нулю? (Воспользуйтесь предыдущим упражнением.)
Приложение. 1) При данных точках А, В выясните, каково множество точек М, для которых MB — kMA (k — const).
2) Для заданной тройки коллинеарных точек Л, В, С выведите соотношение Стюарта
(VM е= <Г) МА2ВС 4- МВ2СЛ 4- МС2АВ = 0.
14. (Теорема Дезарга1).) Пусть & — аффинное пространство над каким-либо телом К и (ЛВС), (А'В'С')—две тройки не коллинеарных точек, такие, что прямые (ЛЛ'), (ВВ'); (СС') различны и пересекаются в точке В. Предполагается, что Л' Ф Л,
в' Ф В, С' ф с.
a) Покажите, что существуют скаляры X, р, v, такие, что
Л' = $((В, 1), (Л, X)), В' = $((В, 1), (В, р)),
С' = $((В, 1), (С, v)),
и проверьте, что если р ?= v, то $((В, р), (С, —v)) есть точка Р пересечения прямых (ВС) и (В'С').
b) Определите таким же путем точки Q = (СЛ) f| (С'Л') и Р = (ЛВ) П (Л'В'), если они существуют; проверьте, что
(v — р) ВР 4- (Я — v) SQ 4- (р “ Я) SB — 0. Выведите отсюда, что точки Р, Q, В принадлежат одной прямой.
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed