Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
c) Обратно, пусть / — биекция Р1 (С), преобразующая каждую прямую или окружность в прямую или окружность. Используя композицию / с гомографией, покажите, что дело сводится к случаю /(оо) = оо, и выведите отсюда, что / — гомография или антигомография (биекция вида 2 1—> (а2 + Ь)/(сг + -М). (Воспользуйтесь упр. III. 18.)
32. а) Покажите, что каждая гомография ф прямой Р1 (С) допускает по меньшей мере одну неподвижную точку.
b) Покажите, что если оо — неподвижная точка, то ф имеет вид 2 у—а2 + 6 (а=т^0).
c) Покажите, что в случае двух неподвижных точек а, реС гомография ф может быть задана соотношением вида (ф (г) — ~ Р)/(Ф (г) — а) =& (г — Р)/(г — а), где к <= С*.
ё) Покажите, что с случае единственной неподвижной точки «еС гомографию ф можно определить соотношением вида (ф (2) — а)~1 = (г — а)“1 + /г, где к е С (ср. с упр. 15).
33. Определите все инволютивные гомографии С.
34. Отождествим евклидову плоскость Р2 с С и обозначим через ?> прямую с уравнением у = 0 (действительную ось).
a) Покажите, что гомографии й отождествляются с томографиями С вида 2 I—> (аг + Ь)/(с2 + й) с действительными а, Ьу с, й.
b) Пусть ф — гомография указанного вида без действительной неподвижной точки. Покажите, что тогда ф допускает пару комплексно сопряженных неподвижных точек а, Р и ее ограничение на О можно задать геометрически условием вида
(ЛМ, АМ') = 0, где А, М, М'— точки с аффиксами а, 2, ф(-г), а 0 — заданный угол между прямыми. Как выбрать 0, чтобы гомография ф была инволютивной?
292
УПРАЖНЕНИЯ
35. (Двойное отношение четырех точек окружности.) Пусть & — евклидова плоскость, отождествленная с С выбором орто-нормированного репера
a) Покажите, что замена репера сохраняет или заменяет на комплексно сопряженное двойное отношение аффиксов четверки точек в зависимости от того, имеет ли новый репер ту же ориентацию, что и исходный, или нет. Покажите, что, с другой стороны, инверсия изменяет двойное отношение на его комплексно сопряженное.
b) Покажите, что двойное отношение аффиксов четырех точек Л, В, С, Д лежащих на одной окружности Г, не зависит от выбора репера & (см. упр. 29) и равно двойному отношению* прямых (/Л), (1В), (/С), (/?>), соединяющих эти точки с произвольной точкой / окружности Г (примените инверсию с полюсом /). Обозначив это двойное отношение через [Л, В, С, /)]> покажите, наконец, что его абсолютная величина равна сл ИВ __
. Получите отсюда геометрическое доказательство того*.
что двойное отношение четырех коцикличных точек сохраняется по абсолютной величине при преобразованиях инверсии. (Если / — инверсия с полюсом / и степенью к и Л', В' — образы то-
\k\AB ч
чек Л, В, то можно показать, что Л В = -7-3—гтг- .)
/Л • 1В '
36. Пусть Л, В — две точки на полуокружности с диаметром [Р(31 и Л', В' — их ортогональные проекции на прямую (Р(})~ Покажите, что [Л, В, Р, (2]2 = [Л', В\ Р, 0].
37. (Гармонические гомологии, сохраняющие квадрику.) Невырожденная квадрика (2 проективного пространства Р”(Р) определена однородным уравнением вцда #(*1, ..., хп+1) =0, где <7 — невырожденная неопределенная квадратичная форма. Каждой точке 5 = р(з) пространства Рп (К) ставится в соответствие гиперплоскость Я5, называемая полярной гиперплоскостью точки 5, задаваемая уравнением В(х,в) =0, где В — билинейная симметричная форма, соответствующая д.
Покажите, что точка, гармонически сопряженная с 5 отно* сительно точек пересечения С (2 секущей, проведенной через Я* лежит в Нэ. (Воспользуйтесь параметрическими уравнениями секущей.)
Выведите отсюда, что гармоническая гомология с центром 5 и гиперплоскостью Яя сохраняет (2.
38. (Коники. Двойное отношение четырех точек.) Квадрика в Р2 (К) называется коникой.
a) Пусть Г — коника в Р2 (Р); покажите, что существует система однородных координат, в которой Г имеет уравнение х2 + у2 = г2. Выведите отсюда, что любые две коники получаются друг из друга с помощью гомографии.
b) Пусть Л, Я, С, О — четыре точки в Р2 (Р) ийеР\ {0, 1}. Покажите, что множество точек М, таких, что двойное отношение прямых МА, МВ, МС, МИ равно к, является коникой, про-
УПРАЖНЕНИЯ
293
ходящей через точки Л, ?, С, О. Каково уравнение такой коники, если принять четверку (А, В, С, О) за проективный репер?
с) Обратно, пусть Л, В, С, /) — четыре точки коники Г* Покажите, что если М — точка Г, то двойное отношение прямых МА, МВ, МС, АШ не зависит от М (можно с помощью гомографии свести дело к случаю окружности, разобранному в упр. 35, или действовать прямым образом).
39. Пусть Л, В — две точки проективной плоскости. Биекция Н пучка прямых с центром Л на пучок прямых с центром В называется томографической, если существует прямая Д0, не проходящая ни через Л, ни через В и такая, что точки М = = ДПАо и ЛГ = й(Д)ПАо находятся в томографическом соответствии.
a) Покажите, что в этом случае то же имеет место и для любой прямой Д0, не проходящей ни через Л, ни через В.
b) В случае когда основное поле есть Р, покажите, что геометрическое место точек пересечения прямых Д и /г(Д) есть прямая или коника, смотря по тому, является ли прямая (АВ} своим собственным образом или нет. (Можно использовать однородные координаты, в которых Л = (1,0,0) и ?=(0,0,1).)
