Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
a) Покажите, что [Л, 5, С, D] инвариантно при любой гомографии.
b) Покажите, что если к е [Л, В, С, /)], то
[Л, В, С, D] = {ли-11 л s К*}.
c) Что будет в случае гармонической четверки (Л, В, С, D)}
23. Пусть ^ — аффинная плоскость над полем /С, отнесенная к декартову реперу с началом в О. Каждому элементу теР1 (К) поставим в соответствие прямую (прямая с наклоном т) с уравнением у » тх, если m е /С, и лг = О, если m = = оо. Покажите, что двойное отношение четырех прямых, проходящих через О, равно двойному отношению их наклонов.
24. (Пучок гиперплоскостей.) Пусть ф, ф— две независимые линейные формы на векторном /(-пространстве Е и Lt М — гиперплоскости в Р (Е) с однородными уравнениями ф = О, ф = О соответственно.
a) Покажите, что гиперплоскости в Р (Е), содержащие L П М, суть те, которые могут быть заданы однородным уравнением вида Аф -f- рф 1=81 0, где (А, р)е/(2\{0,0} (говорят, что эти гиперплоскости образуют пучок с базисом (L,M)).
b) Назовем секущей пучка любую проективную прямую, не пересекающую L Л М. Покажите, что гиперплоскости с уравнениями ф =а о, ф = 0, Аф + рф = 0, Аф — рф =*= 0 определяют гармоническую четверку на каждой секущей. (Воспользуйтесь параметрическими уравнениями секущей.)
c) Докажите более общий результат: четыре гиперплоскости с уравнениями Агф -f ргф = 0 (i = 1, 2, 3, 4) определяют гармоническую четверку на каждой секущей тогда и только тогда, когда точки <А/, p*> образуют гармоническую четверку в р1 (/С) (тогда говорят, что эти гиперплоскости образуют гармоническую четверку). Выведите отсюда обобщение теоремы IV. 7.1 и дайте этому обобщению прямое геометрическое доказательство (для сравнения четверок на секущих А, А' можно пользоваться вспомогательной секущей, имеющей общие точки и с А и с А', и применять теорему IV. 7.1).
d) Предполагая К коммутативным, покажите, что двойное отношение точек пересечения четырех гиперплоскостей А,ф -f р/ф = 0 с секущей равно двойному отношению точек <А,*, р/> прямой Р1 (К).
25. Покажите, что фигура, двойственная гармонической четверке точек, есть гармоническая четверка гиперплоскостей (см. предыдущее упражнение.)
290
УПРАЖНЕНИЯ
26. Пусть Р (Е) — проективное пространство над полем характеристики ф% Обозначим через Ь, М две гиперплоскости в Р (Е> и через 5 точку в Р (?) \ (?и
a) Покажите, что геометрическое место точек, гармонически сопряженных с 5 относительно точек пересечения с Ь, М секущей, проходящей через 5, является гиперплоскостью (см. упр. 24).
b) Выведите из этого, что существует гармоническая гомология с центром 5, меняющая местами ? и М.
Случай, когда основное тело есть Р или С
27. Пусть Бп — сфера в Р/г+1, определенная уравнением х\ = = 1.
a) Каждой паре (х, —л:) диаметрально противоположных точек 5" поставим в соответствие точку р(х) в Р(РЛ+1)- Покажите, что таким путем получается биекция Р(РЛ+1) на фактормножество 5" по соответствующему отношению эквивалентности.
b) Каждой паре (А, В) точек Р (РЛ+1) поставим в соответствие действительное число й(А,В)—радианную меру острого угла, образованного прямыми р~1{А) и р~1(В). Покажите, что таким образом можно определить расстояние в Рп (Р), и найдите множество точек, равноудаленных от двух данных. Каковы гомографии, сохраняющие это расстояние?
28. Пусть 5 — сфера в Р3 с уравнением х2 + у2 4- г2 — г = 0. Проверьте, что инъекция С->5:
. • , ( х У х2 4- у2 \
Х + 1у^\\+х* + у*’ 1 + ** + »*'
продолжается с помощью предельного перехода до биекции Р1(С) = Си{оо} на 5. (В теории функций комплексного переменного множество Си {оо}, отождествленное с 5, называется «сферой Римана».)
29. а) Дайте геометрическую интерпретацию двойного отношения четырех различных элементов а, Ь, с, й ^ С с помощью отношений СА/СВ, ОА1ВВ и величин углов (СА, СВ), (5%, Е)В). Здесь А, В, С, О обозначают точки с аффиксами а, Ъ, с, й.
b) Покажите, что [а, Ь, с, й] е Р тогда и только тогда, когда точки А, В, С, О лежат на одной прямой или окружности. Для Проверки вычислите [еН\ еН\ е *4], где (/ь tъ tъ, /4) е е Р4.
c) Как следует выбирать точки А, В, С, О для того, чтобы модуль \а, Ь, с, &\ был равен 1?
б) Для данных точек А, В, С постройте такую точку О, чтобы [а, Ь, с, й\ =—1, и проверьте, что инверсия с центром в А преобразует точки В, С, И в точки В', С', Ъ', такие, что является серединой отрезка [С/р'\.
УПРАЖНЕНИЯ
291
30. (Формула Лагерра.) Пусть /)2 — прямые евклидовой плоскости Р2 с уравнениями у = т\хл у = т2х и 0 — угол между ними. Проверьте, что [гпи ГП2, /, —= Получите отсюда интерпретацию угла в терминах двойного отношения прямых, используя инъективное отображение К2 в С2.
31. Гомографии прямой Р1 (С) =Си{°о}- Ниже С отождествляется с евклидовой плоскостью Р2.
a) Проверьте, что гомографии Р1 (С) представляются в виде
<р: г 1—> > гДе ай — ЬсфО и в случае сФЪ приняты со-
глашения ф (оо) = а/с, ф (—й/с) = оо.
b) Проверьте, что гомографии Р1 (С) разлагаются в произве-ведение трансляций, преобразований прямого подобия и (при с Ф 0) гомографии г \—> 1/2. Выведите отсюда, что они являются конформными преобразованиями евклидовой плоскости (т. е. сохраняют ориентированные углы между любыми кривыми) и переводят любую прямую или окружность снова в прямую или окружность.
