Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА V
1. Пусть & — плоскость аффинного типа и 2Е), — такие две
ее прямые, что & = 3) и 3)'. Обозначим через Л, В две произвольные точки 3) и через Л', В/ две произвольные точки ЗЬ'\
покажите, что (ЛЛ') II (??')> и выведите отсюда, что 3 сводится к четырем точкам Л, ?, Л', В'.
2. Пусть в плоскости 3 аффинного типа две прямые 3), 3)' пересекаются в точке О. Покажите, что в & существует точка, не лежащая ни на 3), ни на ЗЬ' (постройте параллелограмм (ОАСВ), такой, что Л е 3) и В е 3)').
3. Пусть 8 — пространство аффинного типа (см. § 12), не сводящееся к прямой. Дилатацией пространства 8 называется любая его биекция I на себя, такая, что для любой пары (Л, В} точек 8 имеем (/(Л)/(?))||(Л?).
a) Покажите, что сохраняют силу результаты § V. 2.
b) Определим трансляции и гомотетии как в § V. 2; обо-
значим через /1, К две гомотетии с различными центрами О, Ог и через Л — точку 8, не лежащую на прямой (00'). Полагая В = Н/оН(А)} покажите, что А' ° к является гомотетией или трансляцией в зависимости от того, пересекает ли прямая (АВ} прямую (00') или ей параллельна.
c) Предположим, что для любой тройки (О, Л, Л') различных коллинеарных точек существует гомотетия Н с центром О, такая, что А (Л) = Л'. Покажите, что для любой пары (Л, В) точек 8 существует такая трансляция т, что т(Л) = В (примените пункт Ь) для построения т как произведения двух го* мотетий),
УПРАЖНЕНИЯ
с1) Предположив, что & удовлетворяет аксиоме Дезарга (Э), покажите, что гипотеза пункта с) верна (это легкое обобщение теоремы V. 6.3).
С помощью с) выведите отсюда, что & удовлетворяет также аксиоме (б) (см. § V. 3), и покажите, что & допускает аффинную структуру (расширьте теорию, развитую в § V. 4, V. 5 и V. 7).
Замечание. В случае плоскости таким путем получается новое доказательство того, что из (Э) следует (б).
4. Пусть & — такая плоскость аффинного типа, что каждой паре (Л, В) точек & можно поставить в соответствие точку т(А,В) на (Л?), называемую серединой отрезка [Л?], таким образом, что:
О т(А,В) = т(В, Л);
и) т(Л, А) — А;
ш) если А', В' — образы точек А, В при каком-либо проектировании р% (см. § V. 5), то т(А',В') является образом т(А, В).
a) Покажите, что диагонали любого параллелограмма (АВСй) пересекаются в их серединах (покажите, что предположение т(А,С) фт(В,0) ведет к тому, что прямая, соединяющая эти точки, одновременно должна быть параллельна (АВ) и (Л/))).
b) Покажите, что в & выполняется малая аксиома Дезарга Хс!), и потому ^ — плоскость трансляций.
ГЛАВА VI Абсолютная геометрия
В упр. 1—9 & обозначает метрическую плоскость (см. § 2).
1. Пусть А, В — две различные точки & и А — медиатриса [АВ]. Обозначим через Л, &в полуплоскости, ограниченные А и соответственно содержащие Л, В. Покажите, что если
то МА < МВ (постройте точ^у пересечения [МВ] с А и примените неравенство треугольника). Выведите отсюда, что
&л = {М е= ^ | МА < МВ}, ^в = {Ме^| МА > МВ}.
2. Установите три «признака равенства треугольников» (случай равенства трех пар соответственных сторон, случай равных углов, заключенных между парами равных сторон, и случай
пары равных сторон с двумя парами равных прилежащих углов).
3. Пусть г —- вращение с центром О и а — симметрия относительно оси, проходящей через О. Покажите, что сг ° г ° а-1 = г-1. (Воспользуйтесь разложением г в произведение симметрий.) Получите отсюда другое доказательство коммутативности группы ©ращений с центром О.
УПРАЖНЕНИЯ
29&
4. Говорят, что множество X в & выпукло, если любой отрезок [АВ], соединяющий две точки А, В из X, весь содержится в X.
a) Покажите, что всякий угловой сектор выпуклый.
b) Покажите, что любой круг выпуклый (открытый круг с центром О и радиусом Я есть множество точек [М &$Р\ОМ С
< Я}.
5. Пусть Ф — множество полупрямых с началом О. Покажите что на можно ввести расстояние 6, полагая 6 (Ох, Оу) =
*=хОу1). Покажите, что 3), снабженное таким расстоянием изометрично единичной окружности и евклидовой ПЛОСКОСТИ-Выведите отсюда, что ® компактно и связно.
6. Связность окружности.
a) Пусть А — фиксированная точка и Ои — переменная полупрямая с началом О Ф А. Пусть а = А0и. Покажите, что при а е [0, я/21 (см. примечание к предыдущей задаче) расстояние от А до прямой (Ои) есть возрастающая функция ф(а) угла а, стремящаяся к нулю вместе с а.
b) На каждой полупрямой Ох с началом О отметим точку }(Ох) ее пересечения с заданной окружностью Г с центром О. При фиксированной точке А = 1(Ох) пусть М = ((Оу)—другая точка на Г. Полагая хОу — 2а и применяя обозначения п. а), проверьте, что (1(А, М) — 2ф(а).
c) Пусть — множество полупрямых с началом О, снабженное метрикой из упр. 5. Покажите, что / есть непрерывное отображение на Г и что Г связно. Покажите также, что любая дуга окружности связна.
7. Пусть & — метрическая плоскость, не удовлетворяющая аксиоме Евклида о параллельных, Ф — прямая в & и М е & \®.
a) Покажите, что объединение полупрямых с началом в М, пересекающих является открытым угловым сектором и делится пополам перпендикуляром, проведенным через М к &)\ его угол раствора обозначают 2а (а называется углом параллелизма М относительно Ф).
