Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
J J —РаспРостРаненным на внутренность треугольника).
(Отсюда можно получить, что площадь треугольника с углами а, Р, у равна л — (а + Р + Y)-)
298
УПРАЖНЕНИЯ
Другая конформная модель гиперболической геометрии
15. Каждой точке М полуплоскости Пуанкаре 3 с аффиксом г = х + 1у (у > 0) поставим в соответствие точку /(М) в
с аффиксом 1 = (г — /)/(2+/).
a) Покажите, что / является биекцией 3 на единичный круг 3, определенный неравенством 12Г | <Г 1, и что образами гиперболических прямых из 3 являются пересечения с 3 прямых, проходящих через О, и окружностей, ортогональных единичной окружности и (определяемой условием \1\ — 1).
b) С помощью этой биекции перенесите на 3 гиперболическую метрику, определенную на 3. Проверьте, что расстояние между двумя точками А, В в 3 равно й(А,В) = 1п[у4, В, Р, ф], где Р, Ф — точки пересечения с и окружности или прямой, ортогональной и и проходящей через А, В (см. упр. IV. 35).
c) Покажите, что евклидовы вращения вокруг центра О сохраняют это расстояние и что гиперболический угол между двумя диаметрами 3 равен евклидову углу между ними (вспомните, что / конформно). В последующих упражнениях круг Зу снабженный расстоянием, определенным в Ь), будет называться «гиперболическим кругом».
16. Пусть у — гиперболическая прямая, представленная в гиперболическом круге 3) дугой окружности радиуса г с центром /, ортогональной к V (см. упр. 15), и пусть уь Уг — образы у при вращениях вокруг О на углы ±2я/3.
а) Какому условию должно удовлетворять г для того, чтобы у пересекалась с у) и у2/ (Напомним, что ОР — г2+1.) Положим тогда А = у П Уь В = у П Уг, С = у! П Уг; проверьте* что углы гиперболического треугольника (АВС) со сторонами
а л/ 3/2 \ 1 /9
у, уь Уг все равны а, причем соб -у = (г + 1) . (Можно
вычислить синус угла О А/ в евклидовом треугольнике (ОА1).)
Выведите отсюда, что для любого действительного а е
е]0, я/3[ можно построить гиперболический треугольник, все углы которого равны а; покажите, что существует четырехугольник (полученный объединением двух треугольников) с суммой углов <я.
Модель Бельтрами
17. Обозначим через / инверсию Р3 с полюсом 5(0,0,—1) и степенью 2 и через р ортогональную проекцию (х, у, г) I—=? (ху у, 0). Пусть, наконец, 3) обозначает единичный круг в плоскости 2 = 0, снабженный гиперболической метрикой й (иэ упр. 15).
a) Покажите, что ограничение / отображения р ° / на ЗУ является биекцией, и вычислите координаты точки /(М) как функции от координат М.
b) Покажите, что образ гиперболической прямой в ЗУ при отображении / есть интервал евклидовой прямой.
c) Любой паре (А, В) точек 3 поставлено в соответствие число 6(Л, В) = с1[1~1(А)}(~1(В)], где й обозначает гиперболи-
УПРАЖНЕНИЯ
299
ческое расстояние. Покажите, что б(Л,В) = 7* 1п[Л, ?, Я, (31, где Я, ф — точки пересечения евклидовой прямой (АВ) с единичной ?окружностью и. (Обозначим С = f-x(A)y й = {-1(В)\ упр. IV. 36 докажет, что [Л,Я, Я, (3] *= [/(С),/(?), Я, (З]2, и останется применить результат упр. IV. 35, Ь).)
Круг снабженный метрикой б, называется моделью Бель-трами гиперболической плоскости.
ё) Покажите, что расстояние между двумя точками А, В ш Ф задается в модели Бельтрами формулой
ихгл т 1 -ОА-ОВ
сп б {А, В) ??
(1 - О А2)112 (1 - ОБ2)112
где О А • ОВ обозначает евклидово скалярное произведение (воспользуйтесь параметризацией прямой (ЛВ)).
е) Покажите, что осевые симметрии круга Бельтрами представляются гармоническими гомологиями проективного пополнения Р2 с центром вне Ф и с осью, служащей полярой центра относительно окружности и, рассматриваемой как коническое сечение (см. упр. IV. 37).
18. Теорема Брианшона.
a) Покажите, что в любой метрической плоскости & биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.
b) Дайте истолкование этого результата в модели Бельтрами ^выберите точку О в круге Бельтрами и точки Я, (3 на единичной окружности и и покажите, что биссектриса внутреннего угла между полупрямыми (ОР(, (0(3 ( представляется прямой, соединяющей точку О с точкой пересечения касательных к (7 в точках Я, (3).
c) Выведите из этого, что диагонали шестиугольника, стороны которого касаются одной и той же коники на проективной плоскости, пересекаются в одной точке (можно предположить, что коника определяется однородным уравнением вида х2 + У2 = г2, и отождествить ее с окружностью, см. упр. IV. 38).
19. Теорема Паскаля. Из предыдущего результата выведите по принципу двойственности теорему Паскаля (обобщающую теорему Паппа в Р2 (Р)): если А, В} С, А', В', С' — шесть точек на одной и той же конике, то точки Я = (ВС') П (СВ')У (3 = = (СА') П (АС')У Я = (АВ') П (ВА') лежат на одной прямой.
20. Пусть 3) — круг Бельтрами.
a) Покажите, что гиперболический угол между двумя диаметрами 0 имеет ту же меру, что и евклидов угол между ними.
b) Пусть Я, (3 — две точки на единичной окружности ?/ н А — гиперболическая прямая, представленная открытым интервалом ]Я, (?[. Выразите гиперболическое расстояние с? от О до А с помощью евклидова расстояния г; проверьте, что угол
