Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
4. Пусть Е — векторное пространство над телом характеристики 2 и f — инволютивный автоморфизм Е.
a) Покажите, что Кег(/ — Id?) ^ Im(f — Idf).
b) Предположив, что dim Е = 2 и f ф \&Е, покажите, что в Е существует такой базис (/,/), что /(/) =/ и f(j) — i + /. Покажите, что верно и обратное: эндоморфизм, определенный этими условиями, ипволютивен.
c) Покажите, что и вообще всякая трансвекция инволю-тивна (см. упр. 14).
5. Пусть Е — конечномерное векторное пространство и X, У —< два его ВПП. Покажите, что любые два из следующих трех условий влекут третье: X П У={0}, X+Y = E, dimW-h + dim (У) = dim (?).
276
УПРАЖНЕНИЯ
6. Пусть Е — векторное пространство; определим сумму F = = + Е2 + • • • + Ер нескольких его ВПП как векторное пространство, порожденное объединением Ei U Ег U ... U Ер. Назовем ее прямой суммой, если сюръективное отображение
f: Е\ X X • • • X Ер —>? Ft (xXt ..хр) i—> Xi + ... + хр
инъективно. В этом случае будем писать F = Е J0 ... 0 Ер4
a) Пусть р = 2; покажите, что сумма Е\ Е2 будет прямой тогда и только тогда, когда Ei[)E2= {0}.
b) Пусть /7^=3; для каждого & е {1, 2 р] положим
F к = Ei + • • • + Ek-i + Еь+1 + ???+?„?
Р
Покажите, что Ei — прямая сумма тогда и только тогда,
i = i
когда Ek(]Fk = {0} для всех k.
c) Приведите пример трех ВПП в R2, таких, что Ех П Е2 П П?з={0}, но Ei + E2-\-E3 не является прямой суммой.
d) Допустим, что все подпространства Ei конечномерны.
v
Покажите, что ^ Ei является прямой суммой тогда и только z = i
р
тогда, когда dim(/7) = dim (Ei).
f=1
7. Пусть Е — векторное пространство и X — его ВПП коразмерности р (т. е. такое, что dim (Е/Х) = р). Покажите, не применяя аксиому Цорна, что X допускает дополнительное подпространство размерности р.
8. Пусть Е — векторное пространство и V — его ВПП, такое, что для любого ВПП X а Е размерности р выполнено условие dim(Vn^) ^ 1. Покажите, что коразмерность V не превосходит р — 1 (проведите рассуждение методом от противного, предположив, что существуют р элементов х\, ..., хр пространства Е, таких, что их классы по модулю V независимы, и рассмотрите пересечение V с X = Vect(xt хр)),
9. Пусть Н1, Н2 — две гиперплоскости одного и того же векторного пространства Е. Покажите, что существует векторная прямая, одновременно дополнительная к Нх и Н2 (можно использовать упр. 1, и тогда упр. 12 позволит вывести заключение о существовании инволютивного автоморфизма Е, переставляющего Иi и Н2).
10. Пусть Е — векторное пространство и Xt Y — два его ВПП одинаковой конечной размерности. Покажите, что X, Y допускают общее дополнительное подпространство. (Можно построить базис X + Y вида (еи ..., a[f ..., aq> b i, ..., bg), такой,
что (ei ek) будет базисом X П Y, (еи ..., еь, aq) —
базисом X и (ei, «.., ek, bi, , . . , bq) — базисом К. Если L —
УПРАЖНЕНИЯ
277
подпространство, дополнительное к А+У, то Е+Мес1(а1 Ь\,
,.., ая Ьц) будет дополнительным к А' и к У.)
11. а) Пусть Е — векторное пространство, А— его ВПП и / • автоморфизм X. Покажите, что существует автоморфизм g пространства Е, ограничение которого на X совпадает с /; кроме того, если / инволютивно, то можно и на ? наложить условие инволютивности (воспользуйтесь подпространством, дополнительным к X).
Ь) Пусть X, У — два ВПП пространства Е одинаковой конечной размерности и {— изоморфизм X на У. Покажите, что / продолжается до автоморфизма Е (примените упр. 10).
12. Пусть Е — векторное /(-пространство и А', У — два его ВПП, допускающие общее дополнительное подпространство Е. Обозначим через р проектирование Е на У в направлении Ь.
a) Покажите, что существует автоморфизм { пространства ?, такой, что /|х = р|* и/|/.== — И*,.
b) Покажите, что для всех (х, у) е X X У, таких, что х — У ^ Е, выполняется \{х) — у и 1(у) — х. Выведите отсюда, что / инволютивен и меняет местами А и У.
c) Предположим, что характеристика К отлична от 2. Покажите, что / — симметрия в направлении Ь. Как построить множество неподвижных точек /, исходя из А, У и Е?
Приложение. Для двух заданных гиперплоскостей X, У или двух ВПП в Е одинаковой конечной размерности установите существование переставляющего их инволютивного автоморфизма Е (воспользуйтесь упр. 9 и 10).
13. Пусть Е — левое векторное пространство над телом К и / — полулинейное отображение Е в К, ассоциированное с внутренним автоморфизмом 0 тела К. Проверьте, что 0"1 о/ — линейная форма, и выведите отсюда, что ядром / является гиперплоскость.
14. (Трансвекции.) Пусть Е — векторное пространство и Н~ = Кег к — гиперплоскость в Е.
a) Покажите, что эндоморфизмы { пространства Е, такие, что }(х) —х для всех я е Я, имеют вид /а: х\—> хк (х) а, где а е Е (выбрав Ь е Е \Я, мы увидим, что а можно выбрать таким образом, чтобы выполнялось (а(Ь) = /(6), и тогда (а — /)« Если аеЯ, то /а называется трансвещией гиперплоскости Я; если а^Н, то /а иногда называют дилатацией *) или аффинитетом.
b) Как нужно выбирать а, чтобы было автоморфизмом (соотв. инволютивным) ?
c) Покажите, что произведение двух симметрий в различных направлениях относительно гиперплоскости Н является трансвекцией этой гиперплоскости.
