Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
13. Пусть Д— поле характеристики р. Пользуясь формулой бинома Ньютона, покажите, что для любых (а, Ь) е Д2 верны равенства (а + Ь)р = ар + Ьр и (а — Ь)р = ар — Ьр. Выведите отсюда, что отображение /:Д-*-Д, х\—> хр есть инъективный гомоморфизм поля. Покажите, что в случае конечного поля / является автоморфизмом. Что будет в случае, когда Д —7/р/?
14. Пусть К — конечное поле порядка п.
a) Покажите, что для любого аеК существует целое положительное <7, такое, что = 0; выведите отсюда, что поле Д имеет конечную характеристику р.
b) Покажите, что множество элементов Д вида т-1*, где гае {0, 1, р—1}, образует подполе Д0 поля Д, изоморфное
г/Р1.
c) Покажите, что К допускает структуру векторного пространства над До и что если д — его размерность, то порядок поля равен п = ра. Далее покажите, что отображение /: Д -> Д, х\—> хр линейно. (Эти результаты вместе с результатами упр. 12 показывают, что Д отождествляется с «полем корней» полинома Хп — X над 7/р7 в теории Галуа.)
274
УПРАЖНЕНИЯ
15. Построение поля 1). Пусть К — поле и Ре /фГ| — неприводимый полином над К (т. е. неразложимый в произведение двух полиномов положительной степени над тем же полем).
a) Покажите, что, полагая Я 5 тогда и только тогда, когда полином Я — 5 делится на Р, мы получим на кольце полиномов К[Х] отношение эквивалентности 91.
Далее класс эквивалентности полинома К обозначаем через В, а соответствующее факторпространство — через К[Х]/(Р)*
b) Покажите, что класс эквивалентности суммы (соотв. произведения) двух полиномов Р, 5 зависит только от их классов/?, 5. Выведите отсюда, что на К[Х]/(Р) можно определить сложение и умножение, такие, что
(V (/?, 5) е= (К [X])2) /ГГ5 = Я + 5 и Р5 = ??
c) Покажите, что К[Х]/(Р), снабженное этими двумя операциями, является коммутативным кольцом.
с!) Используя неприводимость Р, покажите, что К[Х]/(Р) является полем той же характеристики, что и К (для доказательства того, что у элемента Я ф 0 есть обратный, заметьте, что Я и Р взаимно просты, и примените тождество Безу2)).
е) Если К — поле конечного порядка п, покажите, что К[Х]/(Р) имеет порядок па, где й — с^(Р) (каждый элемент можно представить полиномом степени 5$:б/— 1).
!) Покажите, что полином степени 2 или 3 над К неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в К (это замечание будет использовано в приложениях).
16. Пусть К = {0, 1, а, Ь}—множество из четырех элементов.
a) Покажите, что К допускает структуру поля характеристики 2, в котором 0 есть нулевой, а 1 — единичный элементы, причем 1 + а — Ь, 1 + Ь — а, а2 = Ь, Ь2 = а, аЬ = 1.
b) Проверьте, что полином Р = X2 + X1 неприводим над полем 22 = //2/, и покажите, что поле 22 [АГ]/(Р), полученное как указано в предыдущем упражнении, изоморфно полю К из а). (Это есть поле Галуа порядка 4, его обозначают Р4.)
17. Проверьте, что полином А'3 + X + 1 неприводим над полем
22. Выведите отсюда существование поля Е8 характеристики 2 и порядка 8, такого, что отображение X I—> X2 является автоморфизмом, отличным от тождественного.
18. а) Проверьте, что полиномы X2 4- 1 и X3 — .А 4-1 неприводимы над полем 23 = 2/32. Выведите из этого, что существуют поля характеристики 3 и порядков 9 и 27 соответственно.
!) Это построение связано с теорией Галуа.
2) Под тождеством Безу здесь понимается следующее: если Я, Р взаимно просты, то существуют такие полиномы и, V, что Яи + Яи = 1 (можно считать, что и > {[е^Р, йе§ и <
< Я). — Прим. перев.^
УПРАЖНЕНИЯ
275
b) Постройте аналогичным путем поле характеристики 5 с 25 элементами (подыщите полином степени 2, неприводимый над полем Z5 = Z/5Z).
ГЛАВА II
1. а) Пусть G — какая-либо группа, А, В— две ее подгруппы, такие, что G = А I) В. Покажите, что G = А или G — В (предположив, что G ф В, выберите в G \В элемент а и покажите, что если Ь €Е В, то ab е А).
b) Пусть X, У— два ВПП векторного пространства Е, та-них, что X U У есть ВПП в Е. Покажите, что X с= У или Y а X*
c) Выведите отсюда, что Е не может быть объединением двух гиперплоскостей.
2. Пусть X, У — два конечномерных ВПП векторного простран-ства Е.
a) Покажите, что X-Y и X(]Y конечномерны и dim X 4-4- dim У = dim(* + У) + dim(X П У).
b) Выведите отсюда, что если dim Е = п, то dim (X П У) ^ ^ dim X -f- dim У — п.
3. Напомним, что два ВПП векторного пространства Е называются дополнительными, если каждый элемент г е Е единственным образом записывается в виде z = х + у, где х е Х9 y^Y. Отображение р: Е-+Е, z I—>х называется проектированием на X в направлении У.
a) Покажите, что отображение р линейно, причем Кег р — У и 1гп р = X, и что р ° р = р.
b) Покажите, что верно и обратное, всякий эндоморфизм Et удовлетворяющий условию р ° р — р, является проектированием,
c) Пусть s — инволютивный автоморфизм Е. Считая, что характеристика основного тела не равна 2, покажите, что р = = 7г (Не — 5) является проектированием, и выведите отсюда, что существуют два таких взаимно дополнительных подпространства X, У, что s является симметрией в направлении У относительно X (определяемой как s(x + у) = х — у для всех х е X и I/ е= У).
