Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 82

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 95 >> Следующая

15. Пусть Е, Е — левые векторные пространства, К — основное поле для Е и /, g — два полулинейных отображения Е в Е,
*) Не путать с дилатациями, определенными в § V. 2!
278
УПРАЖНЕНИЯ
Допустим, что существует функция h: Е Kt такая, что для любого х ? Е имеем f(x) = h(x)g(x).
a) Покажите, что если х, у— элементы Е, такие, что пара (g(x),g(t/)) свободна, то h(x + у) = h(x) = h (у).
b) Выведите отсюда, что если ранг g ^ 2, то существует константа k е /С, такая, что / = ?g.
c) Покажите, что этот результат сохраняет силу, если ранг g равен 1 и если /, g линейны.
Приложение. Пусть Е имеет размерность ^2 и /— полулинейное отображение Е в Е, такое, что х и f(x) зависимы при всех х е Е. Покажите, что / — гомотетия или нулевое отображение.
16. Пусть Е — векторное пространство размерности ^2 над телом /Си / — полулинейное отображение Е в Е.
a) Предположим, что существует элемент a ? Е, такой, что пара (а, /(а)) свободна; обозначим через Н гиперплоскость, для которой абЯ, f(a)?=H. Покажите, что тогда существует автоморфизм g пространства Е, такой что g(f(a)) = а/(а) и g|w = Id#, и проверьте, что g не перестановочно с /.
b) Покажите, что если / церестановочно со всеми автоморфизмами Е, то / имеет вид х I—> kx, где k е К (воспользуйтесь предыдущим упражнением). Выведите отсюда, что центр GL(E) состоит из отображений х \—>kx, где кфО принадлежит центру К.
c) Исследуйте случай dim(?) = 1.
17. Пусть Е — векторное пространство, X, У— два его ВПП и /Y0, У0 — их аннуляторы (подпространства в Е*). Установите соотношение (X f) Y)0 = Х° + У0 (см. предложение II. 6.3).
Указание: для / ? (А П У)0 рассмотрите ограничения / на ВПП L[)X, L П У, где L обозначает дополнительное к X П Y подпространство, и воспользуйтесь предложением II. 4.2 для получения разложения / в / = g + h, где g & Х° и h ? У0.
18. Пусть Е — векторное пространство над полем К и В —« такая билинейная форма на Е, что из В{х,у) =0 следует B(ytx) = 0.
a) Проверьте, что для любых (х, у> z) е Еъ выполняется В [х, В (х, z) у — В (х, г/) г] = 0, и выведите из этого, что В (х, z) В (у, х) = В (х, #) В (z, х). Затем покажите, что если В (х, у)фВ(уу х), то В (х, х) — В(у, у)— 0.
b) Предположим, что существует пара (х, у) ? Е2у такая,
что В(у,х) фВ(хуу). Покажите, что для любого z?E, для
которого B(x,z) Ф 0, верно также В(х,г) фВ^,х), и потому В (г, z) = 0.
c) Снова предположив, что В(уух) фВ(хуу)у покажите, что для z е ?, для которого В(х, z) = В (уу г) = 0, выполнено также равенство B(y + z, у + z) — 0. Получите отсюда снова, что ?(z,z) = 0.
d) Выведите из предыдущего, что
либо (V (х, у) е Е2) В (х, у) = В (у, х),
либо (Vz е?) В (z, z) =s 0,
УПРАЖНЕНИЯ
т
и покажите, что во втором случае
(V (х, у) €= Е2) В (X, у) + В {у, х) = 0.
19. (Примеры свободных семейств в случае бесконечной раз-мерности.)
a) Покажите, что функции /а: R-p->R, х\—> ха (a ? R+) образуют свободное семейство в пространстве отображений R-p в R. (Исследуйте поведение на бесконечности некоторой линейной комбинации fa.)
b) Пусть для каждого a ? R функция fa: R -> R задана как fa(x) = \х — а|. Покажите, что функции fa образуют свободное семейство в пространстве отображений R в R.
(Покажите, что функция вида где — действи-
тельные числа, не равные одновременно нулю, не может быть всюду дифференцируемой и, значит, не может тождественно равняться нулю.)
ГЛАВА III
1. Пусть f — биекция множества X в себя и А—подмножество в X. Покажите, что в каждом из следующих случаев включение f(A) с А влечет f(A) — А:
a) А конечно:
b) X является векторным пространством, / — автоморфизмом X и А — ВПП конечной размерности,
c) А — аффинное пространство, / — аффинная биекция X на X и А — ЛАМ конечной размерности в X;
d) X — аффинное пространство, f — аффинная биекция X на А и А — гиперплоскость в X;
e) X — нормированное векторное пространство, f — биективная векторная изометрия X и А — шар или сфера в X (воспользуйтесь тем фактом, что ограниченное множество не может иметь более одного центра симметрии).
2. Пусть У1, Тч~ два конечномерных ЛАМ аффинного пространства над телом K?=Z2. Покажите, что Ух U ^2 будет ЛАМ только в том случае, если УхаУ2 или У2 с У х. (Случай, когда У\(]У2 не пусто, сводится к векторному; если Ух[\Уг пусто, то можно применить теорему Ш.4.8.)
3. Пусть Уь У2 — два конечномерных ЛАМ аффинного пространства Покажите, что размерность Aff(FiU^2) равна dim(>e1) + dim(r2)-dim(rIn^2), если УХ[)У2 не пусто, и dim (У\) + dim {Уг) + 1, если У\[)Уг пусто (примените упр. II. 2; последнее утверждение дает основание считать, что пу' стое подмножество есть ЛАМ размерности —1).
4. Постройте теорию линейных аффинных многообразий, основываясь на одном из следующих определений:
280
УПРАЖНЕНИЯ
a) Непустое подмножество Т с= & является ЛАМ, если
множество векторов PQ, для которых (Р, Q) е Y2y является векторным пространством.
b) Непустое подмножество Y а (о является ЛАМ, если барицентр любой системы взвешенных точек & с носителем в Y содержится в Y.
5. Пусть <§ — аффинное пространство, т — трансляция <§ на вектор и и / — аффинная биекция <§ на <§ с линейной частью L(f) = ф.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed