Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
в одной и той же точке.
c) Покажите, что можно выбрать точки Л и В так, чтобы прямые (ЛЛ') и (ВВ') были различны, и что в этом случае они имеют общую точку 5, неподвижную при гомографии ф. Покажите далее, что все прямые (М, ф(М)) проходят через 5 (если 5^5", это получается сразу; если же 5е^, то можно Выведите отсюда, что ф является гомологией или элацией. (Это» можно доказать также, отправляя 5В в бесконечность.)
УПРАЖНЕНИЯ
287
14. Пусть Р (Е) — проективное пространство размерности ^ 2, S — точка в Р (В) и ф — гомография, сохраняющая все прямые, проходящие через S.
a) Пусть А, В — две точки Р (Е), не лежащие на одной прямой с S, и Л', В' — их образы. Покажите, что прямые (АВ) и (А'В') пересекаются в неподвижной точке гомографии ф.
b) Пусть 2? — множество полученных таким путем неподвижных точек ф. Применяя теорему Дезарга, покажите, что произвольная проективная плоскость П, проведенная через S, пересекает 2? по прямой и что ограничение ф на П является гомологией или элацией.
c) Покажите, что любая прямая, соединяющая две точки из 2?, содержится в 2?\ выведите отсюда, что 2? — гиперплоскость (см. предложение 12.1) и что ф — гомология или элация. (Это можно также доказать, удаляя точку S в бесконечность.)
15. Пусть К — произвольное тело; отождествим Р[(Ю с К U {°°}> •следуя соглашениям, принятым в § 6.
a) Покажите, что гомографии Р1 (К) записываются в виде XI—> (хс + d)~l (ха + b), а те из них, которые сохраняют бесконечно удаленную точку, в виде х i—> X (ха + b), где (Л, а, Ь) е <~К*ХК*ХК.
b) Покажите, что элации, сохраняющие бесконечно удаленную точку, представляются в форме х \—>х + Ь (см. упр. 7). Выведите из этого, что элации, допускающие в качестве неподвижной точку задаются соотношениями вида (ф(х) —а)-1 =
= (х — а)~1 + b (b = const). (Воспользуйтесь гомографией х 1—> (х — а)”1.)
c) Покажите, что гомологии, сохраняющие бесконечно удаленную точку, имеют вид х I—> хХ Аг Ь или х I—> Хх + Ъ, смотря по тому, является ли точка оо их центром или нет. Получите из этого, что гомологии с центром а е /(, имеющие вторую неподвижную точку могут быть заданы соотношением вида
(Ф (*)-Р)“1 («Р (*)-<*)-Я, (*-РГ‘(*“<*) (X е К), (1)
и проверьте, что в случае поля К соотношение (1) равносильно fР, ос, xt ф (х) ] = А/. (Воспользуйтесь гомографией х\—>(х —
— Р)~‘ {х се).)
d) В случае поля К покажите, что гомологии и элации являются единственными гомографиями Р1 (/С), допускающими хотя бы одну неподвижную точку.
16. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем /С1). Напомним, что линейная группа порождается автоморфизмом Е, множество неподвижных точек которого есть гиперплоскость (см. упр. II. 14 и [LFA], т. 3, упр. I. 14).
а) Выведите из этого, что PGL (Е) порождается гомологиями и элациями (см. упр. 13).
1) По поводу некоммутативного случая см. [AR], гл. IV,
288
УПРАЖНЕНИЯ
b) Пусть 3?— проективная гиперплоскость в Р (Я). Покажите, что любая гомография 2 получается как композиция конечного числа перспектив.
c) Пусть /е*=Р; покажите, что любая гомография Р (Я> индуцируется автоморфизмом Я с детерминантом ±1. Допу* стим, Что такой автоморфизм разлагается в произведение симметрий относительно гиперплоскостей; покажите, что РСЪ(Я); порождается гармоническими гомологиями.
Гармонические четверки и двойное отношение
17. В случае произвольного тела К покажите, что четверка (О, р, у» б) гармоническая тогда и только тогда, когда у 4-
18. Покажите, что для поля характеристики Ф2 четверка (ос, —а, у, б) гармоническая тогда и только тогда, когда уб « аК
19. Пусть К — произвольное тело характеристики Ф2 и ср — биекция Р1 (К) на Р1 (К), такая, что образ любой гармониче-бкой четверки есть гармоническая четверка. Докажите, что отображение ф полупроективно (теорема фон Штаудта). План Доказательства:
а) Покажите, что можно свести дело к случаю ф(0) *?* О, ф(Г) =* 1, ф(оо) tan оо; тогда, отождествив [р1 (/С) с К U {оо}, по-
(1,х2у х,—х)—гармонические четверки.) Выведите из этого, что Ф — автоморфизм тела К.
Ь) Возвратившись к общему случаю, выведите сформулированное утверждение.
20. Пусть а, Ьу су d — четыре элемента поля К и k = [а, Ьу су d] — их двойное отношение. Покажите, что если f пробегает множество (содержащее 24 элемента) всех перестановок a, by су dr то двойное отношение [f(a), f(b)y f(c)y f(d)] принимает лишь значения k, k~l, 1 — k, 1 — /г”1, (1 — /г)“1, (l — А”1)””1*
a) При каком выборе a, by су d не все эти шесть значений различны?
b) Выясните, каково число значений, принимаемых этим двойным отношением, в следующих случаях:
i) k = —1 (рассмотрите случаи, когда характеристика К равна 2 и 3);
ii) k2 — k+ 1 =* 0;
iii) k есть поле Я4 из упр. I. 16.
21. Пусть Р (Я), Р (Я) — два проективных пространства над полями /С, /С' и ф: Р (Я) -> Р (Я) —? полупроективный морфизм, ассо-
+ б~1«=2р-1.
^ЧЙМ
УПРАЖНЕНИЯ
289
циированный с изоморфизмом 0: К -к К'. Покажите, что если Л, В, С, D — коллинеарные точки Р (Е) и [Л, В, С, D] « к, то (Ф (Л), Ф(5), Ф (С), Ф (/))] = 0(6).
22. (Обобщение понятия двойного отношения.) Пусть Д — проективная прямая над некоммутативным телом К и Л, В, С, D• четыре ее точки. Обозначим через [Л, В, С, D] множество значений ф(/)), где ф — гомография Д на Р1 (/С), такая, что ф(Л) =* -= оо, ф(В) = 0, ф(С) = 1.
