Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 90

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 .. 95 >> Следующая

b) Покажите, что а зависит только от расстояния с? от точки М до прямой Ф и является убывающей функцией & (функция а (с?) называется функцией Лобачевского; можно доказать (см. [ВО—52]), что она имеет вид а = 2 агс е~^к, где /г — константа; мы проверяем это на моделях Пуанкаре и Бельтрами).
8. Пусть (АВС) —треугольник в метрической плоскости Обозначим через 5' (соотв. С') точку, симметричную с С (соотв. В) относительно середины [АВ] (соотв. [ЛС]), и пусть 5 — сумма углов треугольника (АВС).
1) Для упрощения мы применяем в этих упражнениях обычное отождествление углов с их мерой в радианах.
296
УПРАЖНЕНИЯ
a) Покажите, что S = В'АС\ и выведите из этого, что S — развернутый угол, если 3 удовлетворяет аксиоме Е{ § 9.
b) Если 3 не удовлетворяет аксиоме Ей обозначим через а угол параллелизма А относительно прямой (ВС). Покажите, что тогда S ^ 2а.
Я. Пусть 3 — метрическая плоскость, не удовлетворяющая аксиоме Евклида. Назовем дефектом треугольника Т = (ABC) число ё(Т) =л—(а + Р + у). гДе а, р, у— углы треугольника.
Покажите, что если D — многоугольная область, разбитая на конечное число треугольников, то сумма дефектов этих треугольников не зависит от выбранного способа разбиения (рассмотрите сначала случай, когда D — треугольная область).
Обозначим эту сумму через 6(D); теория меры показывает, что площадь многоугольной области D имеет вид kb (D), где k = const (площадь подчинена условию инвариантности при изометриях).
Приложения, а) Если 3 — модель Пуанкаре, покажите, что k— 1 (примените упр. 14).
Ь) Используя упр. 16, покажите, что в гиперболической плоскости существуют четырехугольники, площадь которых больше площади любого треугольника: такой четырехугольник не может быть заключен в треугольной области.
Модель Пуанкаре (см. § 12)
В упр. 10—14 через 3 обозначена полуплоскость Пуанкаре, снабженная гиперболической метрикой.
10. Пусть 3, 3' — пара гиперболических прямых в 3, представленных евклидовыми полуокружностями, не пересекающимися и не касающимися.
a) Покажите, что существует единственная гиперболическая прямая А, перпендикулярная одновременно к 3) и 3)'.
b) Покажите, что существуют две осевые симметрии, переводящие 3) и Зг друг в друга.
c) Пусть А — точка 3, не принадлежащая ни 3), ни 3\ ни их общему перпендикуляру, и пусть В, С — точки, симметричные А относительно прямых 3, 3'. Покажите, что точки Л, В, С не лежат на одной прямой и через них не проходит никакая гиперболическая окружность. (Отсюда выводится, что аксиома Евклида равносильна утверждению: через любые три некол-линеарные точки проходит окружность.)
d) Пусть гиперболические прямые 3, 3' в 3 представлены касающимися евклидовыми полуокружностями. Покажите, что существует единственная осевая симметрия, переставляющая 3 и 3*, и у 3, 3' нет общего перпендикуляра.
11. Пусть 3, 3'— две гиперболические прямые, представленные евклидовыми полуокружностями с диаметрами [АВ], [.А'В'] соответственно.
УПРАЖНЕНИЯ
297
a) Покажите, что ® и пересекаются тогда и только тогда, когда отрезки [АВ] и [А'В'] имеют хотя бы одну общую внутреннюю точку.
b) Предположим, что ЗЬ и ЗЬ' пересекаются в точке / и обозначения выбраны так, что точки В и А' принадлежат отрезку [АВ']. Покажите, что через точку 3*, внутреннюю по отношению к евклидову диску с диаметром [ВА'], не проходит никакая гиперболическая прямая, пересекающая обе гиперболические полупрямые (1В( и (1А'(. (Отсюда выводится, что аксиома Евклида равносильна утверждению: через любую точку углового сектора проходит хотя бы одна прямая, пересекающая стороны этого сектора.)
12. а) Пусть М — точка & с кординатами а, b и 3)— гиперболическая прямая (х = 0, у > 0) в 3. Найдите проходящую через М прямую, гиперболически ортогональную к 3), и проверьте, что расстояние от М до ЗЬ равно d = = In ((a2 -f b2)112 -f- а) — In Ь. (Примените упр. IV. 36.)
Ь) Покажите, что пересекающие 3) полупрямые с началом в М — это те прямые, которые принадлежат открытому угловому сектору, ограниченному полупрямой Мх, лежащей на прямой х = а, и дугой евклидовой окружности, касательной к Оу в точке О. Выведите отсюда, что угол параллелизма а в точке М относительно прямой 3) равен а = 2 arctge~d.
13. Предположим, что любая метрическая плоскость ^неудовлетворяющая аксиоме Евклида, допускает биекцию f на полуплоскость Пуанкаре ?Р0, удовлетворяющую условиям
<V (А В)<=32) d[f (A), f (B)]=-~d (А, В), где R = const.
Покажите, что отображение f конформно (т. е. соответственные углы имеют одинаковую радианную меру). Выведите из этого выражение а = 2 arc tg e~d^ для функции Лобачевского (см. упр. 7).
14. В полуплоскости Пуанкаре три-асимптотическим треугольником называют фигуру, образованную тремя гиперболическими прямыми, представленными тремя ортогональными к х'х попарно касающимися полуокружностями или полупрямыми.
a) Покажите, что два любых три-асимптотических треугольника изометричны (постройте гомографию, переводящую одну тройку точек х'х в другую).
b) Покажите, что площадь три-асимптотического треугольника равна п (она выражается несобственным интегралом f Г dxdy
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed