Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
216
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
зывает коллинеарность точек Р = (ВС)(](В'С/)1 (3 = = (аС)П (а'С') и у = (аВ)О(ос'В').
Прямая (5|3) является пересечением плоскости Ху проходящей через точки 5, а, С, и плоскости Х\ проходящей через 5, а', С'. С другой стороны, П П X есть прямая (АС), а ПП^' — прямая (А'С'). Таким образом, прямая (5|3) = АГП^/ пересекает плоскость П в точке (2 = (ЛС)П (А'С') = П П X П X' (см. рис. 28). Аналогично, прямая (5у) пересечет П в точке Я = — (АВ)О (А'В'). Таким образом, прямая (ЯЯ) есть пересечение П с плоскостью ГГ, проходящей через точки 5, (З, у, и поскольку Р лежит на прямой (Ру) и в П, то Р принадлежит и П П ГГ, т. е. прямой
№)• п
? Следствие. Для того чтобы плоскость проективного типа П могла быть вложена в пространство проективного типа размерности ^3, необходимо и достаточно, чтобы на ней выполнялась проективная аксиома Дезарга (ОР) (см. теорему 7.7).
Мы видели, что это условие необходимо; обратно, если оно выполнено, то, как мы знаем, П допускает структуру проективного пространства размерности 2 над телом К и для любого натурального п ^ 3 изоморфна некоторой плоскости в Рп(К).
12. ПРОЕКТИВНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА
Как мы объявили, мы докажем, что аксиомы Еь Ез, Е3 из определения 11.1 достаточны для построения на Е структуры проективного пространства, если только размерность Е (конечная или бесконечная) не меньше 3.
С этой целью мы вернемся к построению аффинной структуры на множестве Е\Н, полученном исключением из Е подходящего подпространства Я. Установим прежде всего
Предложение 12.1. Если Е — пространство проективного типа размерности ^2, то найдется по меньшей мере одно подпространство Я в ?, отличное от Е и такое, что любая прямая из Е пересекается с Я.
12. ПРОЕКТИВНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА 217
Такое подпространство называется гиперплоскостью в Е.
Доказательство, а) Предположим сначала, что Е имеет конечную размерность п\ тогда оно порождено пф 1 точками Л о, А\, АПу и Я— подпространство в Р, порожденное точками А\, ..., Ля. Значит, НфЕ и Р порождено множеством Я U {Ло}. Тогда из предложения 11.2 вытекает, что для каждой точки M?E прямая (А0М) пересекает Я в некоторой точке М'. Если Ж)— какая-нибудь прямая в Р, не проходящая через Л0, и Му N — две точки на Ж)У то прямые (Л0М) и (Л0Я) пересекаются с Я в различных точках М', N'. Отсюда выводим, что прямые (MN) и (M'Nf) пересекаются, и, следовательно, прямая Ж> = (MN) пересекает Я.
Ь) Если Р не имеет конечной размерности, нам придется обратиться к аксиоме Цорна. Собственные подпространства Р, упорядоченные по включению, образуют индуктивное упорядоченное множество, и любой максимальный элемент Я этого множества удовлетворяет требуемому условию: достаточно повторить предыдущее рассуждение, приняв за Л0 произвольную точку в Р\Я и заметив, что Я U {Л0} порождает Р. ?
Чтобы получить возможность формулировать свойства Р\Я, мы дадим
? Определение 12.1. Пространством аффинного типа называется пара (<?,&), состоящая из:
a) множества &, элементы которого называются точками;
b) множества 3? подмножеств <?, называемых прямыми, снабженного отношением эквивалентности, именуемым параллелизмом. При этом должны быть выполнены следующие условия:
&\ Через любые две различные точки & проходит одна и только одна прямая.
Через любую данную точку <§ проходит одна и только одна прямая, параллельная некоторой заданной прямой.
218
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
<Гз Если А, В, С, О — четыре различные точки, такие, что прямые (АВ) и (СО) пересекаются или параллельны, то и прямые (АС) и (ВО) пересекаются или параллельны.
4 Каждая прямая содержит не менее двух точек.
Тогда немедленно получим
Предложение 12.2. Пусть В — пространство проективного типа и Н — гиперплоскость в Е. Назвав «прямыми» ограничения прямых Е на Е\Н, а «параллельными прямыми» — ограничения прямых, пересекающих Н в одной и той же точке, мы получим на В\Я структуру аффинного типа.
Поскольку это так, легко распространить на пространства аффинного типа теорию дилатаций. Можно доказать, что основные теоремы 3.1 и 6.3 (существование трансляций и гомотетий) применимы к каждому пространству аффинного типа, удовлетворяющему формулировке (6) аксиомы Дезарга. Обобщая построения, выполненные в § 3—7, можно вывести существование на Ж аффинной структуры, ассоциированной с некоторым телом, и ее «прямые» суть те же «прямые» в <? (упр. V. 3).
Итак, если Е — пространство проективного типа размерности п ^ 3 и Н — гиперплоскость в ?, то по теореме 11.5 пространство аффинного типа Е\Н удовлетворяет аксиоме (О). Поэтому ?\Я обладает структурой аффинного пространства над телом К и Н легко отождествляется с множеством «направлений прямых» в Е. Отсюда следует, что Е наделено структурой проективного пространства над К. Имеет место
? Теорема 12.3Г Всякое пространство Е проективного типа размерности п ^ 3 имеет структуру проективного пространства, ассоциированного с некоторым телом, и его прямые совпадают с «прямыми» Е.
Непосредственное, чисто проективное, доказательство этого результата можно найти в [УЕ — УО], т. 2, [КЕ], т. 2, и [ОА].
