Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Медиатриса отрезка
^ Теорема 4.3. Множество точек, равноудаленных от' двух различных точек А и В, есть ось 2> единственной осевой симметрии, переставляющей А и В.
Доказательство. Очевидно, что из Ме® следует д(А, М)= й(В, М) (так как М неподвижна относительно симметрии вз). Обратно, пусть — та-
232
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
кая точка, что й(А, М) = й(В, М), и пусть Д есть ось симметрии, переставляющей полупрямые с началом М, содержащие соответственно А и В; тогда $д(Л) = = В, откуда А = 2)иМе2). ?
Перпендикулярные прямые
Определение 4.1. Говорят, что прямая Д перпендикулярна (или ортогональна) прямой 2), если Д ф 2) и 5д (2)) = 2); в этом случае пишут Д _1_ 2).
Покажем, что отношение ортогональности симметрично (хотя и не рефлексивно).
? Теорема 4.4. Отношение Д ±.2) влечет 2) А. Д; из него также следует, что прямые Д и 2) пересекаются.
Доказательство 1). Пусть А ^2) — такая точка, что Аф Д; если 5д (2)) = 2), то точка В = $д(Л) отлична от Л и принадлежит 2); середина О отрезка [АВ] неподвижна относительно 5д и, значит, является общей точкой 2)0 и Д, а потому Д — медиатриса [АВ]. Тогда, поскольку симметрия сохраняет расстояния, в® (Д) есть медиатриса [в® (Л) в® (В)] = [АВ] и в® (Д)=Д. Другими словами, из Д 1_ 2) следует 2) 1 Д. ?
Замечание. Из этого доказательства видно, что медиатриса отрезка [АВ] есть перпендикуляр к прямой (АВ), проходящий через середину О отрезка [АВ].
Предложение 4.5. Через данную точку Л проходит одна и только одна прямая, перпендикулярная заданной прямой 2).
Доказательство. Если Аф 2), то искомая прямая должна пройти через точку В = в® (Л); значит, это может быть лишь прямая (АВ), и ее образ при симметрии в® есть прямая (в® (А) в® (В)) = (АВ).
Если Ле2), то искомый перпендикуляр есть ось единственной симметрии, переставляющей две полупрямые прямой 2) с началом в Л.
*) На ближайших страницах мы предоставляем читателю выполнить соответствующие очень простые рисунки.
5. ВРАЩЕНИЯ
233
Снова об автоморфизмах
Предложение 4.6. Пусть (ЛВС) и (Л'В'С') — два треугольника (тройки неколлинеарных точек), для которых
а (л, в) = й (Л', в'), й (Л, с) = й (Л', с'),
й(В, С) = й(В\ с').
Тогда существует единственный автоморфизм / плоскости который переводит (Л, В, С) в (Л', В', С'), и этот автоморфизм является произведением двух или трех осевых симметрий !).
Доказательство. Единственность f следует из предложения 3,5,с), так как если бы было два таких автоморфизма /, ?, то автоморфизм g~\of имел бы три неколлинеарные неподвижные точки Л, В, С, откуда
/ = ?•
Для доказательства существования / обозначим через 5! такую симметрию, что 51(Л) = Л'(51 единственна, если АфА'), и положим В1 = ^ (В), С{ = 5! (С). Тогда й(Л', Вх) = й{А, В) — й{А\ В'), откуда следует существование симметрии з2, такой, что 52(Л') = Л/ и з2(В1) = В/. Полагая С2 = 52(С!), будем иметь Л (Л', С2)=й (Л', С{)=(1 (Л', С') и г/ (В', С2) = й (Вь С,) = ==й(В\ С'). Теперь возможны два случая. Если С2 — С', то требуемым автоморфизмом является / = = 52о51. Если же С2фС', то прямая (А'В') есть медиатриса отрезка [С2С']. Обозначив через 53 симметрию с осью (Л'В'), найдем требуемый автоморфизм: / = 53 0 ?2 0 $1. ?
Следствие. Всякий автоморфизм / плоскости разлагается в произведение не более чем трех осевых симметрий.
5. ВРАЩЕНИЯ
Определение 5.1. Вращением с центром О называется автоморфизм имеющий О единственной неподвижной точкой либо совпадающий с тождественным отображением.
*) Напомним, что существование } составляет «третий признак равенства треугольников».
9 Ж. Лелон-Ферран
234
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Произведение симметрий
? Теорема 5.1. а) Произведение двух симметрий, оси которых 3, 3' проходят через точку О, есть вращение с центром О.
Ь) Обратно, для любого вращения г с центром О и любой прямой 3), проходящей через О, существуют прямые 3\ 3", проходящие через О, такие, что
вф' ° вф —• Г — вф о вф".
Доказательство, а) г = в® о ^ есть автоморфизм 3 с неподвижной точкой О. Если г имеет вторую неподвижную точку Л, ТО ДЛЯ ТОЧКИ В = 5^'(Л) имеем ^(В) = А и, значит, также в® (А) —В. По предложению 4.2, А = В или 3 — 3'. Но если А = В, то А — общая точка прямых 0, 3)' и, поскольку Л^=0, мы снова имеем 3 = 3'. Таким образом, г не имеет неподвижной точки, кроме О, за исключением случая 3' = 3, когда г = М#. Во всех вариантах г есть вращение с центром О.
Ь) Если г = Ы^, результат очевиден; в противном случае пусть Ле2)\{0} и В = г (Л). Тогда точка О равноудалена от Л и В и существует симметрия с осью 3\ проходящей через О, меняющая местами Л И В. КОМПОЗИЦИЯ 5^'ОГ есть автоморфизм 3, отличный от с неподвижными точками О и Л;
значит, он является симметрией с осью 3 = (ОЛ), и МЫ имеем в&’ог — в® ИЛИ Г — в®' о 5^.
Аналогично, существует прямая 3", такая, что Г“1 = 5^5" 0 5^5, откуда Г = в& 0 5^". ?
Следствие 1. Если г — вращение с центром О и ^ — прямая, проходящая через О, то композиции г и г о 5^ суть симметрии с осями, проходящими через О.
Следствие 2. Для любой пары (Ох, О#) полупрямых с общим началом О существует единственное вращение г с центром О, такое, что г(Ох) = О#.
