Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Каждое подпространство Е допускает естественную структуру пространства проективного типа, индуцированную структурой ?, и справедливо
Предложение 11.1. Пересечение семейства подпространств Е есть подпространство Е.
В частности, если X — непустое подмножество Еу то пересечение подпространств Еу содержащих Ху называется подпространством, порожденным X.
Предложение 11.2. Пусть Е — пространство проективного типа, X — подпространство Е и А — точка в ?\Х Тогда подпространство ?, порожденное Х[) и {Л}, есть множество У точек М в ?, таких, что прямая (АМ) пересекается с X.
Доказательство. Очевидно, что каждое подпространство в Е, содержащее Л и Ху содержит и У. Остается доказать, что У—подпространство в Еу установив, что каждая прямая, соединяющая две точки М, N из У, содержится в У. Этот факт тривиален, если М или N совпадает с Л. Предположим, что МФ Л, N Ф Л, и пусть М' (соотв. УУ')—точка пе-
*) Эти аксиомы введены Вебленом и Юнгом [УЕ—УО]; они намного более простые и общие, чем аксиомы Бибербаха, касающиеся лишь трехмерного случая (см. [КЕ], т. 2).
11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
213
ресечения прямой (АМ) (соотв. (АЫ)) с X (эта точка единственная, так как А не принадлежит X). Обозначив через Р произвольную точку прямой (МЫ), отличную от М и Ы, мы докажем, что РеУ.
Первый случай. М' Ф М и Ы' Ф N (рис. 26). Поскольку прямые (ММ') и (ЫЫ') пересекаются в Ау прямые (МЫ) и (М'Ы') имеют общую точку /, принадлежащую X (по аксиоме Ег); аналогично, поскольку прямые (АЫ') и (Р1) пересекаются в Ы, прямые (АР) и (1Ы') имеют общую точку Р'. Так как
прямая (1Ы') содержится в X, то Р' принадлежит X; прямая (ЛР) пересекает X и Ре У.
Второй случай. М' = М (рис. 27). Случай М = Ыг очевиден (прямая (МЫ) проходит через Л), поэтому предположим, что М ф Ы'. Тогда, поскольку прямые (МР) и (АЫ') пересекаются в Ы, прямые (МЫ') и (АР) имеют также общую точку Р'\ так как прямая (МЫ') содержится в X, точка Р' принадлежит X и РеУ. ?
Понятие размерности; плоскости
Определение 11.2. Говорят, что пространство Е проективного типа имеет конечную размерность пу если существует конечная система (Ло, Ль ..., Ап) из п + 1 точек, порождающая Е, и не существует системы из п точек, порождающей Е (такое натуральное п единственно). Если Е не порождается никакой конечной системой точек, то говорят, что Е бесконечномерно.
Эти определения применимы равным образом и к подпространствам в Р. В частности, подпростран-
214
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ство размерности 0 есть точка, размерности 1 — прямая. Подпространство размерности 2 называется плоскостью.
Теорема 11.3. Через любые три неколлинеарные точки Л, В, С пространства проективного типа В проходит единственная плоскость, совпадающая с множеством П таких точек М, что прямая (АМ) пересекается с прямой (ВС).
Доказательство. По предложению 11.2, II есть подпространство Е. С другой стороны всякое подпространство в В, содержащее Л, В, С, содержит и прямую (ВС), а значит, и П, причем П порождается системой точек Л, В, С и не сводится к прямой. Итак, сНт(П) = 2.
Обратно, если плоскость ГГ, порожденная тремя неколлинеарными точками Р, (2, В, содержит и точки Л, В, С, то легко доказать, что прямые (ЛВ), (ВС), (СЛ) пересекаются с прямыми (Р(2), (ЯЯ), (ЯР), откуда следует, что Р, Я, Р принадлежат П. Имеют место включения 1Г =э П и П =) ГГ, а потому ГГ = = П. ?
Предложение 11.4. Две прямые в В, лежащие в одной плоскости П, имеют общую точку.
Доказательство. По предыдущему, мы можем предполагать, что плоскость П порождена одной из прямых, например Ху и точкой Л на второй прямой. Предложение 11.2 показывает, что эти прямые пересекаются.
Следствие. На плоскостях пространства проективного типа определена структура плоскостей проективного типа в смысле определения 1.1.
Теорема Дезарга в пространстве
? Теорема 11.5. Пусть В — пространство проективного типа размерности ^3 и (Л, В, С), (Л', В', С') — две тройки неколлинеарных точек, таких, что прямые (ЛЛ'), (ВВ') и (СС') различны и проходят через одну точку. Тогда точки Р = (ВС)П (В'С'), Я =
11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
215
= (СЛ)П(С'Л'), У? = (ЛВ)П(Л'В') (существующие по аксиоме Ё2) коллинеарны.
Доказательство распадается на два случая.
Первый случай. Прямые (ЛЛ'), (ВВ') и (СС') не лежат в одной плоскости пространства Е.
Пусть тогда П — плоскость, порожденная Л, В, Су а ГГ—плоскость, порожденная Л', В', С'. Три точки Р, (3, Р принадлежат одновременно обеим плоскостям П и ГГ. Если бы они не были коллинеарными, то по предложению 11.3 мы имели бы П = ГГ вопреки предположению.
Второй случай. Прямые (Л/Г), (ВВ') и (СС') лежат в одной плоскости П.
Тогда в силу условия сИт(В)^3 существует точка 5е?, не принадлежащая П. Обозначим через О общую точку прямых (ЛЛ'), (ВВ'), (СС') и выберем точку а на прямой (ВЛ), отличную от В и Л. Тогда точки О, а, В, Л' все различны и неколлинеарны (рис. 28), и поскольку прямые (ОА') и (Ва) пересекаются в Л, то прямые (Оа) и (ВЛ') имеют единственную общую точку а/.
Три различные прямые (оса'), (ВВ'), (СС') пересекаются в О и не содержатся в одной плоскости. К ним применим предыдущий результат, что дока-
