Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 7.2. Если к — гомотетия плоскости
трансляций то ее векторная часть есть биекция ^ —>
на для которой к(—и) = — к(и) и
(V (п, у) е ^2) к (и + с) — к (и) + к (с). (1)
С другой стороны, если кь к2 — две гомотетии с общим центром, то векторная часть к2°к\ есть
к2 о кх.
7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА
195
Наконец, если А— гомотетия с центром О и т — трансляция, ТО — гомотетия с центром т(О)
и с той же векторной частью, что и А.
Доказательство, а) Если А = гомотетия с центром О,
—> —> -> —> ^
то А — отображение ^ 5а, СШ ОН (М), очевидным
образом биективное.
Если и = О Л и и = ОБ — два элемента то
h(v — и) = h (ЛВ) = А (Л) А (В) = ОА (В) - ОА (Л)
или
—^ -> —^ h(v — и) = h (v) — h (и),
-> -> откуда следуют равенства /г(—и) = — h(u) и (1).
Ь) Если А = Аг ° Ai — композиция двух гомотетий с центром О, то для любой пары (Л, В) точек ^
A (A) h (В) — А2 (Лi) А2 (Bj), где Л^МЛ), Bj^MB), или
А (Л) А (В) = А2 (Л1ВО = А2 о А! (ЛВ),
что и требовалось установить.
с) Если А — гомотетия с центром О и т — трансляция, то А' = т ° А^тг“1 — дилатация, допускающая неподвижную точку т(О), и, следовательно, гомотетия
?>
с центром т(О); соотношение А'—/г следует из того, что для любой пары (А, В) точек & имеем т (Л) т (В) = = АВ. ?
Следствие. Векторные гомотетии образуют группу Н
биекций если Н0 обозначает группу гомотетий
с заданным центром О, то отображение Н0->Н, *>
Ль-»А есть изоморфизм групп.
Предложение 7.3. Для каждого вектора и Ф 0 и
любой гомотетии К множества & вектор Х(и) колли-неарен и.
7*
196
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Обратно, если и, V — два ненулевых коллинеарных вектора на дезарговой плоскости то существует
единственная векторная гомотетия Я множества 3*, такая, что Я (и) = V.
Доказательство. В силу вышеизложенного дело сводится к известным свойствам гомотетий с данным центром О (предложение 2.1 и теорема 6.3). ?
Полученные свойства позволят нам определить при условии дезарговости 3 векторную структуру
на 2Р.
? Обозначения и определения. Обозначим через 3 дезаргову плоскость, через со — нулевое отображение
3 (ставящее в соответствие каждому вектору и нулевой вектор) И ПОЛОЖИМ /С=#и{со}, где Н по-
прежнему обозначает группу векторных гомотетий 3.
Определим произведение Яр двух элементов Я, [X из К как их композицию Я^?р, что влечет Л,со = соЛ, = = со для всех Я е К-
С другой стороны, образом вектора и при действии элемента % є К назовем произведение вектора и на X, обозначаемое просто Хи\ тем самым для всех
сои = 0 и (V (X, р) є К2) X (ри) == (Яр) и. (2)
Структура аддитивной группы на К
Предложение 7.4. Если Я, р — элементы К, то —^ —>•
отображение V: иь->ц(и)— К (и) есть эле-
мент К, который мы обозначим р. — К.
Доказательство. Для фиксированной точки О в 9 обозначим через / отображение 9 в 9, заданное условием
(УМ є 9) ОЇ (А!) = цОМ - КОМ.
Тогда точки О, М и ЦМ) коллинеарны; для любой пары (М, Д) различных точек
НМ)Ш) = цШ - КШ. (3)
7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА
197
Если Я = (а, то V = со и результат тривиален. Если Я ф р, то соотношение (3) показывает, что / инъек-тивно (см. предложение 7.3) и прямая (/(М)/(Л/)) параллельна прямой (ММ). Обозначая через А некоторую точку в ^*\{0} и полагая А' — !(А), мы легко получаем, что / совпадает с гомотетией к с центром О, удовлетворяющей условию к (А) —А', хотя мы и не предполагали заранее сюръективности I (см. построение к в доказательстве теоремы 6.1).
Итак, I— гомотетия и у= /. ?
В частности, если р = ю, отображение —Я: «•—» >—Ям есть элемент К и можно определить сумму двух элементов Я + р из К как Я + р = Я— (—р); тогда
(Ум е 9) (Я + р) м = Ян + рм. (4)
Из того что & — абелева группа, легко вывести, что (/С, +) есть абелева группа с нейтральным элементом 0.
Структура тела на К
Мы уже знаем, что (/(,+)—абелева группа и Л = /С\ {со} — группа по отношению к композиции отображений. Для того чтобы доказать, что (/(,+, °) — тело, достаточно обосновать распределительные законы:
Предложение 7.5. Для любых элементов Я, р, уе К выполняются равенства
{Я + р) V — Яv + (5) и V (Я + р) = vЯ + vp. (6)
—>
Доказательство. Для любого и е 9* по определению суммы Я + р имеем
(Я + р) уи — (Я + р) о V (и) =
= Я О V (и) + р о уи = + РVII,
т. е. выполнено (5). Точно так же, если V ф 0, то, ->•
применяя (1) при Н = V, имеем
[V (Я + р)] и = V (Я (м) + р (и)) =
= V О я (и) + V 0 р (и) = vЯи + vpи,
198
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
т. е. выполнено (6). При V — со результат тривиален. ?
Теперь может быть сформулирована
^ Теорема 7.6. Пусть 3> — дезаргова плоскость аффинного типа, Н — группа векторных гомотетий и
->
К = Н и {со}, где со — нулевое отображение 3. Тогда
a) если сложение в К определено формулой (4),
то (К, +, °) есть тело с нулевым элементом со;
—^ ^
b) внешнее умножение КХЗ>->3>, (Л, и)ь->Л(и)
определяет на группе (3>, +) структуру векторного пространства над К размерности 2.
Доказательство. Утверждение а) вытекает из пре-
дыдущего. Соотношения (2) и (4) показывают, что 3* есть векторное прос7ранство над К. Наконец, легко видеть, что если и, V — два неколлинеарных вектора,
