Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Действительное значение !(М) называется абсциссой точки М на ориентированной и пунктированной прямой 3>о и обозначается ОМ.
Отметим, что если изменить ориентацию 3, не меняя начала О, то функция \ изменит знак на противоположный.
Следствие. Для любой пары (Л, В) различных точек 3 существует единственная точка С на прямой (.АВ), для которой й(А, С) = й(В, С); эта точка лежит между Л и В и называется серединой отрезка [АВ].
Доказательство. Из аксиомы Шс видно, что Л не может лежать между В и С, В между Л и С; таким образом, С лежит между А и В. При любой ориентации прямой (АВ) точка С определяется равенством
(I (Л, С) = '/2д(А, В).
Если Л = В, то будем говорить, что серединой отрезка [ЛЛ] служит Л.
3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 229
Общие свойства автоморфизмов
Аксиома Шс показывает, что всякий автоморфизм 9 сохраняет отношение «лежать между». Итак, если / — автоморфизм 9 и 2Ь— прямая на 9 и если выбраны ориентации прямых 2) и /(^), то ограничение I на 9) будет монотонной биекцией 2) на 1(2)). Отсюда вытекает
Предложение 3.4. Если /—автоморфизм 2, то
a) образ отрезка [АВ] есть отрезок [/(А)/(В)];
b) образ полупрямой с началом О есть полупрямая с началом /(О);
c) образ полуплоскости, ограниченной прямой 2), есть полуплоскость, ограниченная прямой 1(25).
С другой стороны, краткое изучение неподвижных точек автоморфизмов дает нам
Предложение 3.5. Пусть ( — автоморфизм тогда
a) если I имеет две неподвижные точки А и В, то он оставляет неподвижной и каждую точку прямой (АВ);
b) если I меняет местами точки А и В, то он оставляет неподвижной середину отрезка [АВ];
c) если I допускает три неколлинеарные неподвижные точки А, В, С, то I является тождественным отображением.
Доказательство. Утверждение а) следует из того, что точка М прямой (АВ) полностью определяется своими расстояниями от точек А, В. Можно также воспользоваться предложением 3.3, чтобы свести дело к изометрии К.
b) Если 1(А)=В и /(В) = А, то образ середины С отрезка [АВ] есть середина образа [ДА)/(В)] = = [ВА\2 т. е. С.
c) Если ! допускает три неколлинеарные неподвижные точки А, В, С, то, как показывает утверждение а), I оставляет на месте каждую точку прямых (АВ), (ВС), (СА). Но через каждую точку М в 2, не принадлежащую этим прямым, проходит по крайней мере одна прямая 29, пересекающая две из этих прямых в различных точках (достаточно применить
230
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
аксиому Паша Иь к прямой 3)у соединяющей М с одной из внутренних точек отрезка [ВС]). Тогда все точки 9* неподвижны при / и, в частности, /(М) = = М. ?
Наконец, очевидно, что автоморфизмы 9> образуют группу. Отсюда следует
Предложение 3.6. На множестве ЗГ подмножеств^ 9 можно ввести отношение эквивалентности, полагая р* = Рг тогда и только тогда, когда существует автоморфизм \ плоскости 9, такой, что /(/7) = В'.
Это отношение эквивалентности называется кон-груэнтностью или, не совсем правильно, равенством. Далее мы встретим примеры этого отношения.
Замечание. Установленные в этом параграфе свойства не зависят от аксиом симметрии Иа и Иь. Теперь мы изучим следствия этих аксиом.
4. ОСЕВЫЕ СИММЕТРИИ.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Свойства осевых симметрий
Предложение 4.1. Любая осевая симметрия инволютивна\ она не имеет других неподвижных точек, кроме точек своей оси 3), и меняет местами полуплоскости, ограниченные прямой 3).
Доказательство. Композиция 5^05^ есть автоморфизм 3, отличный от вд и оставляющий неподвижной каждую точку 3), а следовательно, совпадающий с по аксиоме 1Уа. С другой стороны* как показывает предложение 3.5, с), симметрия вду не имеет других неподвижных точек, кроме точек прямой^). Наконец, для любой точки М^9\ЗУ середина / отрезка [Мэ^Щ)] остается на месте при вд по предложению 3.5, Ь) (в силу инволютивности Эд})у таким образом, /е® и вд(М) лежат в другой полуплоскости, чем М, относительно 3).
Предложение 4.2. Если А, В — две различные точки 9у то существует единственная прямая ЗЬу такая* что 5^>(Л) = Б.
4. ОСЕВЫЕ СИММЕТРИИ. ПЕРПЕНДУКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ 23Г
Доказательство. Существование. Пусть О — середина отрезка [АВ] и Ох (соотв. Оу)—полупрямая с началом О, содержащая А (соотв. В); по аксиоме 1Уь найдется хотя бы одна прямая 2), такая, что вз(Ох) = Оу, и поскольку с1(0, А) = с1(0, В), то вз (А) = В.
Единственность. Пусть 2)' — другая прямая, такая, что бз' (А) = В. Тогда вз и вз' — автоморфизмы, переставляющие А и В, сохраняющие, следовательно, прямую Д = (А/3) и отличные от зд. Поскольку прямые 2) и ЗУ отличны от прямой Д, то вз и вз' имеют неподвижные точки, не лежащие на Д. Композиция 8з0 вз* есть автоморфизм, оставляющий неподвижными точки А и В, а потому и любую точку прямой Д, и отличный от 5д, так как он сохраняет полуплоскости, ограниченные прямой Д. Итак, вз° 8з' = 1А&>, откуда 2) = 2У. ?
Следствие. Если Ох, Оу — две полупрямые с общим началом О, то существует единственная прямая 2), такая, что вз(Ох) = Оу. Эта прямая, проходящая, через О, называется биссектрисой полупрямых Ох и Оу.
Доказательство. Прежде всего для того, чтобы выполнялось условие вз(Ох) = Оу, необходимо, чтобы вз(0) — 0 (см. предложение 3.4, Ь)), а потому 0е2). Пусть тогда А е (Ох) и В е (Оу) — такие точки, что й(0, А) = й(0, В)> 0. Условие $з(Ох) = Оу влечет вз(А) = В. Если Ох = Оу, то А —В и 2> может быть* лишь прямой (ОА), содержащей Ох. Если жеОхфОу, то АфВ и 2) есть ось симметрии, переставляющей А к В.
