Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть А, В, С—-три точки прямой Ф0, такие, что В>А, и А' = А + С, В' = В + С —
точки прямой Ф, определенные условиями АА' =
= ВВ' = ОС. Тогда АВ = А'В' и, по предложению 9.2, В' > А'. Итак, Фо в самом деле есть упорядоченная группа. Второе утверждение вытекает из теорем 9.1 и 5.4. ?
Архимедовы плоскости
^ Определение 9.2. Упорядоченная плоскость трансляций называется архимедовой, если каждая ее пунктированная и ориентированная прямая является архимедовой группой (см. § 1.5).
Предложение 9.4. Для того чтобы упорядоченная плоскость трансляций была архимедовой, достаточно, чтобы на ней существовала пунктированная и ориентированная прямая Фо, составляющая архимедову группу.
Доказательство. Если пунктированная прямая Фо архимедова по отношению к одному из своих упорядочений, то же самое имеет место и для второго упорядочения; она останется архимедовой и при выборе нового начала О', так как трансляция т—Ф0->Ф0,
206
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
является строго монотонным гомоморфизмом. Наконец, если 3)'0. —- другая пунктированная ориентированная прямая, то можно свести дело к случаю, когда Оф.3)', О'ф.3)\ тогда проектирование р в направлении (00') прямой 3)0 на 3)'0, будет строго монотонным гомоморфизмом по предложению 9.3. Отсюда следует, что 3)’0,— также архимедова группа.
Применением следствия из теоремы 1.5.2 немедленно получается
Предложение 9.5. Пусть 200 — пунктированная ориентированная прямая архимедовой плоскости.
Тогда для каждой точки /1е2)\{0) существует единственный монотонный гомоморфизм 0$ группы 3)о в (К, +), такой, что 0о (Л) = 1.
В этом случае действительное число 0о(М) называется абсциссой точки М в репере (О, Л) прямой 3>\ эта абсцисса обозначается ОМ, если точка А фиксирована.
Отметим, что гомоморфизм во не зависит от ориентации 3, и напомним., что он строго монотонен\ если 3) ориентирована так, что А > 0, то он строго возрастает.
? Теорема 9.6 (Сильная теорема Фалеса.) Пусть 35, 3' — прямые, пересекающиеся в О, А — точка на
3) \ {О} и А' — точка на 3)' \ {О}. В принятых выше обозначениях соотношение 0о (М) — 0о (М') (где М^З и М'^З') равносильно (ММ') || (АА').
Другими словами, если 35, 3)' отнесены к реперам (О,/4), (О, Л'), то проектирование р прямой 3) на 3' в направлении {АА') сохраняет абсциссы.
Доказательство. Отображение / = 0о °р есть монотонный гомоморфизм 30 в 13, для которого / (Л) = 1, и потому он равен 0$. В силу инъективности гомоморфизма 0о равенство 0о (М') — 0о {М) равносильно М/=^р(М) и к тому же (ММ') || (АА'). ?
10. АФФИННАЯ СТРУКТУРА АРХИМЕДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 207
10. АФФИННАЯ СТРУКТУРА АРХИМЕДОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Образ пунктированной прямой 2)0 при одном из гомоморфизмов 0о является, очевидно, подгруппой (Р, +)• Мы увидим, что эта подгруппа в действительности является подполем поля Р (предложение 10.1) и не зависит ни от выбора 2)о, ни от точки А (предложение 10.2).
Прежде всего, чтобы доказать, что 0о (®) — подполе поля К, достаточно установить, что частное двух его элементов ему принадлежит; это и утверждается в следующем предложении.
Предложение 10.1. Пусть &0 — пунктированная прямая архимедовой плоскости. Каковы бы ни были точки Л, Ву С из 3) \ {О}, найдется точка В є 3) \ {О},
такая, что 0о(?>) = 0о (С)/0о(В).
Доказательство. При фиксированных на Сточках А, В отображение 2) М ?—^0о(М)/0о (В) есть монотонный гомоморфизм 20 в (13, +), такой, что / (В) = 1, и потому равный 0о. Значит, нам следует построить такую точку О, что 0о (Д = 0о (С).
Для этого проведем через О отличную от 2) прямую 2)' и выберем точку В' на 2У \ {О} (рис. 23). Построим на 2)' точку С', такую, что (СС')\\(ВВ), и на 2) точку Д такую, что (С'Д || (В'Л). Обозначив через 0о гомоморфизм 2о в (К, +), для которого 0о(Д)=1, и применив теорему Фалеса 9.6, получим
208
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
в о (?>) = 0^ (С') = 0о (С). Следовательно, ?> —искомая точка. ?
Если обозначить абсциссу точки М на Ф в репере (О, А) этой прямой просто как ОМ, то точка ?> опре-
о/) ол делится из равенства -== =
Итак, мы выполнили построение «четвертой пропорциональной».
Предложение 10.2. При вышеуказанных обозначениях подполе 0о (Ф) не вависит ни от выбора Ф, ни от репера (О, А) на Ф.
Доказательство. Пусть Ф, Ф'— прямые в (необязательно различные), снабженные соответственно реперами (О, Л), (О', Л'), и пусть р— проектирование Ф' на Ф в произвольном направлении (равное тождественному отображению при Ф'= Ф). Обозначим через 0 = 0о гомоморфизм Ф0 в Р, удовлетворяющий условию 0 (Л) = 1, и пусть 0' — отображение Ф' в Р, определенное условием
с^М е Ф') &М = е°р(м) ~е°Р(0/). (1)
о т 0ор (Л') - 0°р (О')
Можно проверить, что 0' — монотонный гомоморфизм Фо в К, для которого 0/(Л')=1, и потому
он равен 00'*, соотношение (1) показывает, что 0'(Л/) принимает значения в поле 0$ (Ф). Таким образом, имеет место включение 0о' (Ф') с= 0о (Ф). Меняя
ролями Ф и Ф\ получим требуемое равенство. ?
Если Ф' — Ф и р = Ы^, то, как показывает формула (1), при изменении репера на прямой Ф абсциссы подвергаются аффинному преобразованию.
