Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
то всякий вектор т из 3 единственным образом разлагается в сумму некоторого вектора х, коллине^у?-ного и, и вектора у, коллинеарного V. Тогда предложение 7.3 показывает, что найдется единственная пара (X, р)е/СХ/С такая, что х = Хи и у = \хс, откуда вытекает единственность разложения хю = Хи +
Этим устанавливается, что размерность 3* равна 2. ?
? Следствие. Всякая дезаргова плоскость аффинного типа 3> допускает структуру аффинной плоскости над ассоциированным телом К.
->
Доказательство. Прежде всего группа (3*, +) Действует на 3> с помощью трансляций %и просто транзи-тивно (см. § 3). С другой стороны, если Л, Л'— две различные точки какой-либо прямой 3) в 3>, то предыдущее исследование показывает, что 3) есть множество точек М, таких, что АМ = ХАА', где X пробегает К. Таким образом, «прямые» 3> совпадают с прямыми аффинной структуры, определенной на 3> дей-
ствием 3>.
7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА
199
? В заключение приведем формулировку в краткой форме: для того чтобы плоскость аффинного типа была аффинной плоскостью, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла аффинной аксиоме Де-зарга (О).
В самом деле, необходимость условия нам известна.
Возврат к проективному случаю
Из полученных результатов легко выводится
^ Теорема 7.7. Для того чтобы плоскость проективного типа была проективным пространством размерности 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая аксиома:
(ДР) (Проективная аксиома Дезарга.) Если
(ЛВС) и (А'В'С') — такие два треугольника, что прямые (АА')У (ВВ') и (СС') различны и имеют общую точку О, то точки Р = (ВС)П (В'С')9 Я = (СА)П(С'Л') и Д = (АВ)О(А'В') коллинеарны.
Доказательство. Мы знаем, что условие необходимо (теорема IV. 10.1); обратно, если условие выполнено и А — какая-нибудь прямая в П, то множество П\Д обладает структурой плоскости аффинного типа, удовлетворяющей аксиомам (б) и (О). Следовательно, П\Д есть аффинная плоскость и П — проективная плоскость.
Замечания. 1) В действительности достаточно, чтобы П\Д удовлетворяла аксиоме (О), что приводит лишь к предположению, что свойство (ОР) выполнено, если точки (2, Д принадлежат заданной прямой Д, а точка О ей не принадлежит.
2) Для того чтобы плоскость П\Д была плоскостью трансляций, достаточно предположить справедливость (ОР) лишь при условии, что точка О принадлежит прямой (ЯД). Плоскости проективного типа, удовлетворяющие этому ослабленному предположению (называемому малой проективной аксиомой Дезарга), изучала Р. Муфанг. Они называются «альтернативными плоскостями» в связи с природой ал-
200
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
гебраической структуры, которую они индуцируют (см. [Р1], [БТ]).
Напомним, наконец, что свойство Фано (см. предложение IV. 7.3) позволяет выяснить, будет ли тело, ассоциированное с дезарговой плоскостью, характеристики 2 или нет.
8. ПЛОСКОСТЬ ПАППА—ПАСКАЛЯ
^ Определение 8.1. Плоскость аффинного типа называется папповой (или паскалевой), если она удовлетворяет следующей аксиоме:
(РА) (Аффинная аксиома Паппа.) Если (А, В, С) и (А', В', С') — две различные тройки коллинеарных точек, то соотношения (АВ')||(ВА') и (АС')||(СА') влекут (ВС') || (СВ').
По предыдущему исследованию и теореме IV. 11.1 мы знаем, что всякая плоскость аффинного типа, удовлетворяющая аксиоме Дезарга (О) и аксиоме Паппа (РА), есть аффинная плоскость над коммутативным телом (т. е. полем). В действительности, как мы увидим далее, аксиома (РА) влечет и аксиому (О).
^ Теорема 8.1 (Гессенберга). Каждая паппова плоскость является дезарговой (а значит, и плоскостью трансляций).
Доказательство. Предположим, что плоскость 9* удовлетворяет аксиоме (РА), и пусть (АВС), (АВ'С') — —два таких треугольника, что прямые (АА'), (ВВ'), (СС') различны и пересекаются в точ^ ке О; предположим, кроме того, что (А'В')Ц(АВ) и (А'С') || (АС).
Обозначим через 2) прямую, проведенную через О параллельно (АС), и через О — точку Ф П(АВ) (см. рис. 20). Поскольку прямая (В'В) пересекает Ф> она также пересекает и прямую (А'С') в некоторой точке В. Применим свойство (РА) к тройкам (ДВ, В'), (А', О, А); очевидные соотношения (1Ю)||
||(ВА'), (ВА)Ц(В'А') повлекут (ВА)Ц(В'О). Отсюда
8. ПЛОСКОСТЬ ПАППА — ПАСКАЛЯ
201
следует, что прямая (ЕА) пересекает прямую (ОС) в некоторой точке Р и что (Л4)||(ОВ).
Применяя свойство (РА) к тройкам (О, С, Е) и (А, Д В), мы видим, что из условий (0?))||(СА), (ОВ)\\(РА) вытекает (СВ)\\(РО). Наконец, применив свойство (РА) к тройкам (О, С', Р) и (В, ДВ'), получим, что соотношения (Ой) || (С'Е), (ОВ')\\ (Ер) влекут (С'В')\\(РО) и, значит, (С'В') || (СВ). Это и доказывает, что на выполняется аксиома ф). ?
? Следствие. Для того чтобы плоскость аффинного типа была аффинной плоскостью над полем, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла аффинной аксиоме Паппа (РА).
Возврат к проективному случаю
Из полученных результатов немедленно выводится
^ Теорема 8.2. Для того чтобы плоскость П проективного типа была проективным пространством размерности 2 над полем, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующей аксиоме:
