Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
(РР) (Проективная аксиома Паппа.) Если (А, В, С) и (А', ВС') — две тройки различных колли-
202
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
неарных точек, то точки Р = (ВС')П {СВ'), ф = = (СА')П(АС') и /? = {АВ')[\(ВА') коллинеарны.
Отметим простоту аксиом, лежащих в основании плоской проективной геометрии.
Перейдем теперь к изучению аксиом, на которых основана плоская аффинная геометрия над полем действительных чисел (§ 9 и 10). Отправляясь от некоторой плоскости трансляций, мы введем аксиомы порядка и воспользуемся аксиоматическими характеризациями К, установленными в гл. I. Аксиомы Дезарга и Паппа появятся в этом случае как следствия аксиом порядка.
9. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПЛОСКОСТИ,
АРХИМЕДОВЫ ПЛОСКОСТИ
^ Определение 9.1. Плоскость аффинного типа 3> называется упорядоченной, если на каждой ее прямой установлены два взаимно обратных отношения линей-ного порядка (позволяющие определить отрезки прямой) так, что выполняется следующая аксиома:
^ (О) (Аксиома Паша.) Если А, В, С— три неколли-неарные точки, то любая прямая, пересекающая один из отрезков [АВ], [ВС], [СА], пересекает и второй.
Эта аксиома равносильна следующему свойству, позволяющему определить полуплоскости, ограниченные прямой 3)\
? (О') Для каждой прямой 3) плоскости 3 определено отношение эквивалентности на 3\3) условием: А52В, если отрезок [АВ] не пересекается с прямой 3).
Действительно, определенные так отношения симметричны и рефлексивны, а их транзитивность равносильна обратному к противоположному для утверждения (О):
«Если отрезки [АВ] и [ВС] не пересекаются с прямой 3)у то с ней не пересекается и отрезок [АС]».
Будем говорить, что прямая ориентирована, если на ней выбрано одно из двух взаимно обратных отношений порядка.
9. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПЛОСКОСТИ, АРХИМЕДОВЫ ПЛОСКОСТИ 203
Теорема 9.1. Если 9— упорядоченная плоскость аффинного типа, то проектирование ориентированной прямой 9) на ориентированную прямую 9)' в направлении б монотонно.
Доказательство. Пусть Л, В, С—три точки на 3), такие, что В лежит между Л и С, т. е. принадлежит отрезку [АС], и пусть Л', В'у С'— их проекции на 9)' (рис. 21). Тогда прямая (ВВ') пересекает сторону
р(А) йГ р(В)
[АС] треугольника (ЛСС'), и так как она параллельна его стороне [CC']i то она пересекает третью сторону этого треугольника [АС']. Аналогично, поскольку прямая (ВВ') параллельна стороне {АА'] треугольника (АА'С') и пересекает его сторону [ЛС'], она пересекает и сторону [А'С'] того же треугольника. Этим доказано, что проектирование сохраняет отношение «лежать между». Итак, проектирование р есть монотонное отображение, каковы бы ни были выбранные ориентации прямых 9) и 9)' (случай, когда,р(9)) сводится к одной точке, тривиален). ?
204
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Упорядоченные плоскости трансляций
Предложение 9.2. Если 2— упорядоченная плоскость трансляций, то трансляции любой ориентированной прямой являются возрастающими отображениями.
Доказательство. Пусть 2— ориентированная прямая в 2 и т — ограничение на 2) трансляции на вектор и параллельно 2), сохраняющей 2\ можно считать, что и Ф 0.
a) Покажем сначала, что т монотонно. Для этого выберем прямую 2)', параллельную 2) (2У Ф 2)у и проектирование р прямой 2) на 2)' в произвольном направлении 6. Тогда направление б' прямой (т (А)р(А)) не зависит от выбора точки А на 2
(см. рис. 22), так как для любой пары (Л, В) то-
>- >-------------------
чек 2 имеем р(А)р(В) = АВ = х(А)х(В)у и потому (х(В)р(В)) || (х(А)р(В)). Обозначая через р' проектирование 2)' в направлении б' на 2>, получим т = р' о р, и поскольку р и р' монотонны при любой ориентации 2' у то т монотонно и даже строго монотонно в силу биективности.
b) Поскольку т строго монотонно, то так же обстоит дело и с трансляцией хп на вектор пи при любом целом п ^ 1. Следовательно, пи ф 0 при п ^ 1 и, в частности, 2и ф 0. По исследованию, проведенному в § 5, отсюда следует существование вектора для которого и = 2V. Трансляция на вектор и сохраняет 2У а ее ограничение на 2 является строго монотонной биекцией а, такой, что т = а_°а. Отсюда следует строгое возрастание т. ?
Следствие. Две эквиполлентные пары точек (Л, В)у (Л', В') на одной и той же ориентированной прямой 2 находятся в одинаковом отношении порядка.
В самом деле, существует такая трансляция т, что Л' = т(Л) и В' = х(В). ?
Эти результаты позволят нам упорядочить группу (йу +) векторов 2 с заданным направлением й. Но для большей наглядности мы используем пунктированные прямые в направлении й: пунктированной пря-
9. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПЛОСКОСТИ, АРХИМЕДОВЫ ПЛОСКОСТИ 205
мой Ф0 называется прямая Ф, на которой выбрана некоторая начальная точка (начало) О. Если М, N — две точки на Ф0, то мы определим точку Р =
= М + N равенством ОР = ОМ + ОЫ. Тогда Фо превратится в группу, изоморфную группе (??, +) векторов того же направления ку что и Ф.
Предложение 9.3. В упорядоченной плоскости трансляций каждая пунктированная и ориентированная прямая Фо является упорядоченной абелевой группой. Более того, если Ф'о> — другая пунктированная и ориентированная прямая и р — проектирование Ф на Ф'у такое, что р(0)= О', то р есть монотонный гомоморфизм групп.
