Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
*) Некоторые из этих аксиом уже формулировались. Для большей ясности мы их воспроизводим с другой нумерацией. Уточним на будущее, что нас не беспокоит вопрос о независимости аксиом. По этому поводу можно обратиться к [Н1—ДО]«
2. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 225
Пь (Аксиома Паша.) Если прямая ZD пересекает одну из сторон [АВ], [ВС], [СА] треугольника (ABC), то она пересекает по меньшей мере еще одну его сторону.
III. Аксиомы расстояния
Мы предполагаем, что задано отображение d: X^-^R-ь называемое функцией расстояния (между точками), которое удовлетворяет следующим условиям:
Ша (V (A, B)s=0>X&) d(A, В) = d (В, А).
Шь d(A, В) = 0<=^А = В.
Шс Для того чтобы точка С прямой (АВ) принадлежала отрезку [АВ], необходимо и достаточно, чтобы
d(A, B) = d(A, C) + d(C, В).
Hid На каждой полупрямой (Ои) с началом О и для любого действительного х > 0 *) существует точка М, такая, что d(0, М) = х.
(Из предыдущих аксиом следует единственность этой точки.) Число d(A,B) называется также длиной отрезка [АВ] и часто обозначается просто АВ (см. § 8).
IV. Аксиомы симметрии2)
Для удобства их формулировки введем некоторые предварительные термины.
Определение 2.1. Автоморфизмом 0> называется биекция 0* на 0>, сохраняющая расстояния и преобразующая прямые в прямые.
Теперь сформулируем следующие аксиомы:
1) Вместо предположения о том, что х — произвольное действительное число, можно в этом условии ограничиться подходяще выбранным подмножеством действительных чисел (см. упр. VI. 23).
2) В оригинале «Axiomes de pliage» (аксиомы сгибания), что связано с обычным для школьной геометрии «перегнем плоскость по прямой». — Прим. перев.
8 Ж. Лелйн-Ферран
226
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
IVа Для любой прямой 3) в 3 существует единствен-ный автоморфизм 3 помимо тождественного* оставляющий неподвижной каждую точку 3). Этот автоморфизм называется симметрией с осью 3> и обозначается
1Уь Для любой пары (Ох, Оу) полупрямых с началом О существует по меньшей мере одна прямая 3), такая, что в® (Ох) = Оу.
3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ Свойства, связанные с порядком
Предложение 3.1. Прямая плоскости 3 не может пересекать трех сторон треугольника (ЛВС), за исключением случая, когда она проходит через одну из его вершин.
Доказательство. Предположим, что прямая 3) пересекает [ВС] в Р, [СА] в (?, [ЛВ] в Я и не прохо-
дит ни через одну из точек Л, В, С. Тогда точки Р, ($, Я различны и одна из них, для определенности Р, лежит между двумя другими. Прямая (ВС) пересекает отрезок [С}Я] в Р, но не пересекает ни одного из отрезков [Л(?], [ЛР], что противоречит аксиоме Паша, примененной к треугольнику (Лф?) (рис. 1). ?
Предложение 3.2. Для любой прямой 3) в 3 отношение 3, определенное на 3 \ 3) с помощью
Л$В<=ИЛВ]П0=0, (О
есть отношение эквивалентности, разбивающее 3 на два класса эквивалентности; эти классы называются полуплоскостями, ограниченными прямой 3>.
3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 227
Доказательство. Симметричность и рефлексивность отношения 21 очевидны. Его транзитивность равносильна утверждению:
(О') Если (Л, В, С) — три точки 2>, такие, что [АВ] и [ВС] не пересекаются с прямой 2), то и [АС] не пересекается с 2).
Но утверждение (О') обратно противоположно аксиоме Паша Иа и потому выполнено.
С другой стороны, можно построить две точки Аи„ А2 в 2>\2), такие, что отрезок [А\А2] пересекает 2> в некоторой точке /: достаточно провести через I прямую Д и применить аксиому IIId для построения двух точек А*, А2 прямой Д по разные стороны от /, таких, что d(/, А\) = d(I, А2) = 1 (рис. 2).
Если М — любая точка в 2>\2), то прямая 2) не проходит ни через одну из вершин треугольника (MAiA2), и поскольку она пересекает отрезок [А\А2], она пересекает только один из отрезков [МЛ1], [МЛ2], т. е. М принадлежит либо классу Ль либо классу Л2, и отношение 21 действительно определяет два класса эквивалентности. ?
Напомним здесь, что прямая 2Ь в 9* называется ориентированной, если выбрано одно из двух определенных на ней отношений порядка.
Свойства, связанные с расстоянием
Признаемся сначала, что мы употребили слово «расстояние», не приняв всех аксиом метрического пространства: аксиома Шс влечет неравенство треугольника #(Л, В) ^ d(A, С) + d(C, В) только для троек коллинеарных точек, но не в общем случае. Однако, как мы увидим далее, общее неравенство тре-
8*
228
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
угольника есть следствие принятой системы аксиом (предложение 8.4), что апостериори оправдывает применение термина «расстояние».
Покажем, теперь, что прямые в 3 изометричны «числовой прямой» Р.
Предложение 3.3. Для каждой ориентированной прямой 3 и каждой ее точки О существует единственная возрастающая биекция / прямой 3) на I?, для которой 1(0) = 0 и
(V (Л, В)е=32) | / (В) — / (Л) | = й (Л, В).
Доказательство. Пусть (Ох) (соотв. (Ох')) — полупрямая с началом О, состоящая из точек Ме2), лежащих после (соотв. перед) О относительно выбранного на 3) отношения порядка; легко видеть, что единственная функция, удовлетворяющая поставленным условиям, определяется равенствами /(М) = = й(0,М), если М^(Ох), и 1(М) = —с1(0,М), если М е (Ох'). ?
