Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Пусть, в самом деле, 5 — симметрия относительно прямой (Ох). Для того чтобы существовало вращение г с центром О, при котором г(0х)=0г/, необ-
5. ВРАЩЕНИЯ
235
ходимо и достаточно, чтобы автоморфизм был симметрией 5', переставляющей Ох и Оу, откуда г —
= 5'ц° 5. ?
Группа вращений с заданным центром
? Теорема 5.2. Вращения с центром О образуют коммутативную группу.
Доказательство. Пусть г, г'— два вращения с центром О.
a) Покажем, что г'ог1 — вращение с центром О. При выбранной прямой 3), проходящей через О, теорема 5.1 показывает, что существуют две прямые Л, Д', Проходящие через О, такие, ЧТО Г = 5д05^ и г' — — 8\' 0 5^5. Тогда
г' о г-1 = 5д/ О 5^ О 5-' о 5-« = 5д,о 5д,
откуда видно, что г' ° г-1 — вращение.
b) Покажем, что г ° г' — г' ° г.
Пусть А — произвольная точка в 3>\{0} и 5 — симметрия с осью (ОЛ). Тогда является сим-
метрией с осью, проходящей через О, переводящей А в В = г (А) и, следовательно, переставляющей эти точки, откуда г ° 5 (В) = А. Аналогично, г' ° 5 есть симметрия с осью, проходящей через О, переставляющая точки А и В'— г'(Л), откуда г/°5(В/) = Л.
Но, в силу части а), г°г' и г' °г — вращения. Применяя следствие 1, мы увидим, что г/л°/’°5 — симметрия с осью, проходящей через О, переводящая В в В', в ТО Время как Г°У — симметрия с осью, проходящей через О, переводящая В' в В. Имеем У?г°в = = г°г'°5, откуда г о У = г' ° г. ?
Приведенное выше следствие 2 можно сформулировать, сказав, что группа вращений с центром О действует просто транзитивно на множестве полупрямых с началом в О, а также на каждой окружности с центром О и радиусом /? ф 0.
Покажем, наконец, что группа 310 вращений с центром О всегда изоморфна некоторой фиксированной группе при изменении точки О.
9*
236
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Предложение 5.3. Если О, О' — две различные точки 0 и 5 — осевая симметрия, переставляющая О и О', то отображение А: г»—явля-
ется изоморфизмом групп.
Доказательство. Пусть г ^ &о и г'= 5© г о5; если и = 1с1^, то г' = Ы^. Если г Ф 1с1^, то г' есть автоморфизм 0 с единственной неподвижной точкой О'= 5 (О), т. е. вращение с центром О', причем Г/"1 = 5ог"1о5. Наконец, для двух вращений гь г2 с центром О имеем
А (г^ О А (г2) == (5 о Г! О 5) (5 о г2 о 5) =
= 5 О (г{ О г2) о 5 = А (/Д О г2).
Итак, А в самом деле есть изоморфизм 01о на 01о\ ?
Замечание. Если 0 = 0' и 5 — какая-либо симметрия с осью, проходящей через О, то отображение А: 01о-+01о,г]г-^’ 50 г 05 является автоморфизмом $?<> и можно проверить, что А(г)= г-1 (см. упр. VI. 3).
Центральные симметрии
Определение 5.1. Если О — точка плоскости 0, то симметрией с центром О называется биекция о0 плоскости <р на 0, определяемая условием:
для любой точки Ме#1 точка О есть середина отрезка [Мо0{М)\.
Теорема 5.4. Симметрия с центром О есть коммутативное произведение осевых симметрий относительно любой пары перпендикулярных прямых, проходящих через О; она есть, следовательно, вращение с центром О и притом единственное инволютивное вращение с центром О, отличное от тождественного отображения.
Доказательство, а) Обозначив через 2), 2)' две перпендикулярные прямые, проходящие через О, покажем, ЧТО симметрии 5=5^5 И Я = 5,0' КОММутИруЮТ
6. УГЛЫ
237
и что их произведение есть инволютивное вращение.
Выберем Де®'\{0}; точка В = 5 (Л) принадлежит 3)' по условию; поэтому ° 5(Л) == з'(В) == В и 5 о5г(Л) = 5(Л) = В. По вышеприведенному следствию 2 получим ° 5 = 5 о 5' (единственное вращение с центром О, переводящее Л в Б) .Отсюда (/ о 5) о ($' 05) =
= (5' О 5) О (5 о $') =
Ь) Покажем, что инволютивное вращение г с центром О есть симметрия с центром О или тождественное отображение.
В самом деле, для каждой точки середина
отрезка [Мг(М)\ есть неподвижная точка г\ если г Ф Ы^, то это точка О и г — оо.
Так как композиция симметрий относительно двух ортогональных прямых 3), 3' не может быть тождественным отображением (поскольку 3)' ФЗ)), то она является симметрией с центром О. Теорема 5.4 полностью доказана. ?
6. УГЛЫ
Слово «угол» охватывает традиционно несколько разных математических понятий, которые необходимо различать. Но усилия, предпринятые в преподавании для устранения любых неясностей, привели к парализующей тяжести терминологии. На самом деле на практике пользуются обиходным языком: исходя из «угла» как фигуры, образованной двумя полупрямыми с общим началом, к нему присоединяют все математические понятия, в которых возникает надобность. Но, чтобы не утратить необходимой гибкости, не следует, как часто делают, сводить традиционное понятие «фигуры» к понятию множества: геометрическая фигура скорее есть семейство множеств (точек, прямых, отрезков, окружностей, ...), связанных определенными соотношениями, и мы можем по произволу обогащать фигуру посредством геометрических построений.
В частности, заметим, что задание двух полупрямых Ох, Оу с общим началом О равносильно заданию
238
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
множества (Ох)\](Оу) лишь в том случае, если эти полупрямые не противоположны !).
Каждой паре (Ох, Оу) полупрямых с общим началом, не лежащих на одной прямой, мы ставим в соответствие открытый угловой сектор, образованный пересечением полуплоскости П*, содержащей Оу и ограниченной прямой (Ох), и полуплоскости Ну, содержащей Ох и ограниченной прямой (Оу). Замкнутый угловой сектор получится как пересечение замкнутых полуплоскостей (замкнутая полуплоскость есть объединение полуплоскости и ее граничной прямой).
