Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Пространства аффинного, типа. Если <§ — пространство аффинного типа, то можно попытаться про-
12. ПРОЕКТИВНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА 219
должить его до пространства проективного типа путем присоединения «бесконечно удаленных точек» (направлений прямых в ^). Но в общем случае это продолжение осуществляется не так быстро, как в случае плоскости: нужно действительно определить «бесконечно удаленные прямые» и проверить аксиому Е2, когда некоторые из точек Л, В, С, В бесконечно удаленные. На деле быстрее действовать прямым путем, воодушевляясь проективным случаем. Так, можно доказать, что если & содержит четыре некомпланарные точки, то аффинные аксиомы Дезарга (б) и (О) выполнены. Предшествующий анализ позволит тогда дать такую формулировку:
? Теорема 12.4. Для того чтобы пространство аффинного типа допускало аффинную структуру над телом, достаточно, чтобы существовали четыре различные точки Л, В, С, В, такие, что прямые (ЛВ) и (СВ) не пересекаются и не параллельны.
Заключение. Итак, случай пространств размерности ^3 улажен; случай пространств размерности О или 1 тривиален. Поэтому только «плоскости» проективного или аффинного типа выдвигают новые проблемы. Можно построить «плоскости», не удовлетворяющие аксиоме Дезарга. Изучение этих плоскостей, называемых «недезарговыми», дало толчок многочисленным исследованиям и привело к введению новых алгебраических структур (см., например, [А1], [ОБ], [Р1], [БТ], [ЬО]).
Глава VI
МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ {ЕВКЛИДОВА И НЕЕВКЛИДОВА)
1. ВВЕДЕНИЕ
Напомним, что геометрия аффинной плоскости основана на следующих аксиомах:
• аксиомы плоскости аффинного типа (§ V. 1): аксиомы инцидентности, сильная аксиома Евклида;
• малая аффинная аксиома Дезарга (с!) (§ V. 3);
• аксиомы порядка, аксиома Паша и аксиома Архимеда (§ V. 9).
Для того чтобы основным полем нашей геометрии выло все К, а не одно из его подполей, достаточно лодчинить его еще аксиоме (ВГ) верхней грани (§ 1.6) или взамен потребовать его максимальности (т. е. чтобы оно было наибольшим из полей, удовлетворяющих наложенным условиям, см. § 1.8): это была бы аксиома полноты Гильберта.
На достигнутом этапе нам не остается ничего более для обоснования евклидовой геометрии, как ввести скалярное произведение в ассоциированном векторном пространстве; так и делалось последние годы в курсах геометрии, и нетрудно найти изложение, ставшее уже классическим, с выводом соответствующих свойств (метрических соотношений, свойств вращений и симметрий, меры углов).
Но этот путь изложения, при котором геометрия рассматривается как некая конкретизация алгебраических структур, имеет относительно недавнее происхождение, долгими же веками геометрия воспринималась как моделирование физического пространства, и потому как проистекающая из опыта и подчиняющаяся ему. Возможность переместить фигуру, не подвергая ее деформации, входила в число основных лксиом и позволяла измерять длины и углы; прямые
1. ВВЕДЕНИЕ
221
неизбежно участвовали как кратчайшие пути, соединяющие пары точек. Но при этом понятие «параллельные прямые» вызывало трудности в связи с невозможностью проверить с полной достоверностью, что две прямые не пересекаются. И несколько вычурная форма, которую придал Евклид аксиоме о параллельных (см. конец § 9), заставляла думать, что речь, скорее, идет о еще недоказанном следствии других аксиом, чем о некоторой физической очевидности. Для отличения ее от других аксиом долго использовался термин «постулат» 1).
Поэтому изложение геометрии начиналось со свойств, не зависящих от этой аксиомы (предложения 1—26 первой книги Евклида). Сохранялась надежда доказать ее от противного; для этого нужно было долго изучать логические следствия ее отрицания в поисках противоречия. Однако вывести пятый постулат Евклида из остальных аксиом не удавалось. Со времен Евклида и до наших дней можно насчитать сотни «доказательств» этого постулата2); многие математики, и среди них весьма крупные, занимались этой проблемой. Из наиболее близких к современности и наиболее известных упомянем лишь Карно, Лапласа, Больцано, Эйлера, Лагранжа и особенно Фурье (1768—1830). Со временем, в начале XIX в., их постоянные неудачи и влияние Гаусса (1777—1855) привели к сомнениям в возможности доказать такими средствами пятый постулат.
Наконец, около 1830 г., почти одновременно Янош Бойаи и Н. И. Лобачевский 3) дали систематическое построение «неевклидовой геометрии», начатое Сак-кери и Лежандром. Однако вера в логическую необ-
х) Термин «постулат» введен самим Евклидом; у него девять аксиом и пять постулатов. — Прим. перев.
2) История попыток доказать пятый постулат Евклида весьма полно изложена в книге TPN], где рассказано о страстях, кипевших вокруг этой проблемы. Подробный анализ этого труда дан нами в июньском номере за 1987 г. журнала «Pour le science».
3) Приоритет Н. И. Лобачевского, равно как и полная самостоятельность Яноша Бойаи, прочно установлены (см. Ро-зенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии., М.: Наука, 1976). — Прим. перев.
222
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
