Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
ходимость постулата Евклида так сильно укоренилась в умах, что теории Бойаи и Лобачевского сначала вызвали недоверие, переходящее в возмущение. Полемика, возникшая в связи с этой геометрией, продолжалась до 1870 г.
Проблема получила полное решение лишь после того, как удалось установить непротиворечивость неевклидовой геометрии; построение «моделей» этой геометрии Бельтрами (1835—1900), Клейном (1849— 1925) и Пуанкаре (1854—1912) показало, что эта непротиворечивость равносильна непротиворечивости аксиоматики действительных чисел. Неевклидова геометрия оказывалась столь же состоятельной, что и евклидова. В конце XIX в. она выступила как частный случай геометрии римановых пространств постоянной кривизны, другим примером которой может служить сферическая геометрия, и не могла более быть оспорена.
Одновременно начал развиваться интерес к основаниям евклидовой геометрии, и в 1899 г. Давид Гильберт дал в своих «Основаниях геометрии» (см. [Н1 — КО]) первую полную систему аксиом, которую можно положить в основу этой геометрии. Тем самым была оправдана теория Евклида и ее преподавание, которое вплоть до 1970 г. велось под влиянием его «Начал».
Хотя мы теперь действительно освободились от исторически сложившегося недоверия к аксиоме Евклида о параллельных, все же небесполезно получить четкое представление о возможном построении геометрии на основе метрических свойств, несомненно более ощутимых и чаще употребляемых, чем аффинные свойства.
С другой стороны, небезынтересно убедиться, что в рамках теории метрических пространств имеются другие свойства, эквивалентные аксиоме Евклида о параллельных (например, существование прямоугольника); становятся понятными ценность задач на построение, которые предлагаются ученикам, и то внимание, которое уделяется изучению «простых фигур»: менее абстрактные, чем свойство параллельных,
2. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
223
свойства этих фигур составляют на деле надежную основу для обучения геометрии.
На последующих страницах мы изложим аксиоматику метрической геометрии, следуя исторически сложившемуся пути (т. е. откладывая по мере возможности введение аксиомы о параллельных) и оставаясь как можно ближе к преподаванию начал геометрии. Затем мы обсудим различные эквивалентные варианты пятого постулата Евклида. Наконец, в завершение мы опишем простую модель гиперболической геометрии. Подробнее все это изложено в работах [Н1 — ИО], [ЕУ], [ЕЕ], [ВК], [КЕ].
2. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
В своей аксиоматике евклидовой плоскости Гильберт воссоздает геометрию Евклида, не вводя никаких аксиом, относящихся к «геометрической» или «числовой прямой»; его аксиоматика содержит полное построение поля действительных чисел под именем «исчисления отрезков», основанное на аксиомах порядка, конгруэнтности и непрерывности (см. [Н1 — ИО]). В действительности для первых математиков построение К тесно связывалось со свойствами евклидовой плоскости: сначала доказывалось, что длины (определяемые как классы эквивалентности отрезков) составляют измеримую величину; затем шла теорема Фалеса, позволяющая строить «четвертое пропорциональное», что приводило к структуре поля после выбора единицы длины. Наконец, в большей или меньшей степени уточнялась природа подполей К.
На самом деле, если допустить, что длины образуют измеримую величину, нет необходимости прибегать к теореме Фалеса (которая опирается на аксиому о параллельных) для определения частного или произведения двух длин; это показано нами в § 1.7.
Таким образом, мы облегчим изложение, предполагая известным поле действительных чисел и рассматривая как решенную предварительно задачу измерения длин, благодаря изучению, проведенному в § I. 5. Итак, мы считаем, что выбрана единица длины, и допускаем в наших аксиомах существование рас-
224
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
стояния. Так мы можем изложить общие свойства, относящиеся как к евклидовой, так и к неевклидовой геометриям, которые составляют содержание «абсолютной геометрии».
Метрическая плоскость
Ради краткости мы называем метрической плоскостью любое множество 9, удовлетворяющее четырем приведенным ниже группам аксиом1). Тем самым абсолютная геометрия будет изучением этой «метрической плоскости». В дальнейшем метрическая плоскость станет евклидовой или неевклидовой плоскостью в зависимости от того, будет ли принята аксиома Евклида о параллельных или ее отрицание.
I. Аксиомы инцидентности
Плоскость есть множество 9, элементы которого называются точками, а некоторые его подмножества, называемые прямыми, удовлетворяют следующим условиям:
1а Через две различные точки 9 проходит единственная прямая.
Ь Каждая прямая содержит не менее двух точек.
1С Существуют три неколлинеарные (т. е. не лежащие на одной прямой) точки.
II. Аксиомы порядка
Иа Каждая прямая из 9* снабжена двумя взаимно противоположными отношениями линейного порядка.
Эта аксиома приводит к заданию тернарного отношения «лежать между» и позволяет определить отрезки и полупрямые. Обозначим через [АВ] отрезок, образованный точками прямой (АВ), лежащими между А и В (включая и концевые точки), и сформулируем еще одну аксиому:
