Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
С} = р(ус — Ха) и Р =* р (Ха — \аЬ). Поскольку сумма векторов \іЬ — ус, ус — Ка V. Ха — цЬ в Е равна нулю, Точки Р, С}, Р коллинеарны.
Ь) Достаточность. Можно было бы провести доказательство от противного, как это будет сделано в случае предложения V. 6.1, однако интереснее заметить, что утверждение Ь) следует из а) по принципу двойственности.
Действительно, пусть Е* — сопряженное с Е и Ai, В,, С,, А[, В[, С', — точки Р(?*), соответствующие прямым (ВС), (СА), (АВ), (В'С'), (C'A'), (А'В'). Точкам Р, Q, R соответствуют прямые а =
Р = (BjB'), у = (CtC[); легко видеть, что эти прямые различны, если предположить, что А' ф А, В' ф В, С' ф С. Следовательно, если точки Р, Q, R коллинеарны, то прямые а, р, у проходят через одну точку. В силу справедливости утверждения а) в плоскости Р(?*) точки Pj = (В,С,) Л (B[Ci), Qt — (Cj/lj) Л Л (C^i) и Rl = (^4,13,) Л коллинеарны. Но эти
точки соответствуют прямым (АА'), (ВВ'), (СС') в Р(?), Которые, следовательно, проходят через одну точку.
Аффинная интерпретация
Доказательство утверждения а) легко приспособить к аффинной геометрии и получить элементарное
ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
159
доказательство теоремы Дезарга в аффинной пло* скости.
В самом деле, пусть (Л, В, С) и (Л', В', С') — два треугольника в аффинной плоскости й9. Мы можем отождествить й9 с собственно аффинной гиперплоскостью ее векторного продолжения Е = & и положить = Р (Е) = SP U й9^. Тогда каждая точка Лей9 отождествляется с р{А). Подсчеты, проведенные в aj, сохранят силу, при условии что р ^ X) обозна-
чает барицентр трех взвешенных точек (Ah в й9, причем этот барицентр есть «направление прямой» в случае, когда XI Л* = 0.
Разумеется, это дает повод для обсуждения: ведь придется выделять случаи, когда прямые (ЛЛ'), (ВВ'), (СС') проходят через одну точку или параллельны, а также случай, когда некоторые из точек Р9 Q, R бесконечно удаленные. По поводу прямого элементарного рассмотрения теоремы Дезарга в аффинной плоскости см. упр. III. 14.
Доказательство с помощью отправки в бесконечность ^
Для дальнейшего важно убедиться, что теорема Дезарга с помощью процедуры отправки в бесконечность сводится к двум простым свойствам аффинной плоскости.
В предположениях теоремы 10.1 обозначим через Л прямую (QR) и снабдим й9 = П\Д такой аф< финной структурой, чтобы Д была «бесконечно удаленной прямой» в плоскости 9* (см. § 4). Случай, когда прямая Д проходит через одну из точек Л, В, С, А\ В', С', без труда изучается непосредственно, и мы его исключим. Тогда мы приходим к простой теореме аффинной геометрии, а именно:
? Теорема 10.2. Пусть (Л, В, С) и (Л', В', С') — два треугольника в аффинной плоскости, такие, что (Л'В'ЩЛВ) и (Л'С')И(ЛС).
]) В § V. 11 дается другое доказательство, с помощью погружения П в проективное пространство размерности п ^ 3.
160 гл IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Тогда, для того чтобы прямые (АА'), (ВВ'), (СС') (предполагаем, что они различны) проходили через одну точку или были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы прямая (В'С') была параллельна прямой (ВС).
Доказательство. По предположению, существуют Я, р е /С*, такие, что А'В' — ХАВ и А'С' = р ЛС. Поэтому ^С'= рЛС — ЯЛВ и параллельность прямых (В'С') и (ВС) равносильна равенству Я = р (так как
вектор В'С' = рЛС —ЯЛВ коллинеарен ВС = АС—ЛВ лишь при Я == р). Разберем теперь две возможности:
а) Я = р = 1 тогда и только тогда, когда обе прямые (ВВ') и (СС') параллельны {АА') (рис. 10).
Ь) Если Хф\, то прямые {АА') и (ВВ') пересекаются в точке 5, такой, что ВЛ' = ЯВЛ, и если р Ф 1, то прямые {АА') и (СС') пересекаются в точке Г,
такой, что ТА' — рГЛ. Итак, Я = р тогда и только тогда, когда 5 = Г, т. е. прямые (АА'), (ВВ') и (СС') проходят через одну точку (см. рис. 11). Это и доказывает наше утверждение. ?
Замечание. Сведение теоремы Дезарга к аффинному случаю приводит к двум различным конфигурациям (рис. 10 и 11), отвечающим соответственно случаям, когда прямая (ВС?/?) проходит или не проходит через точку В, общую для прямых (ЛЛ'), (ВВ'),
I
Рис. 10
Рис. 11
[СС').
11. ТЕОРЕМА ПАППА И КОММУТАТИВНОСТЬ ТЕЛА 161
Эти две конфигурации будут играть важную роль при аксиоматическом построении аффинной плоскости (см. гл. V).
11. ТЕОРЕМА ПАППА И КОММУТАТИВНОСТЬ ТЕЛА
Начнем с аффинного изучения.
^ Теорема 11.1. Пусть 2Р — аффинная плоскость над телом К. Для коммутативности К необходимо и достаточно, чтобы существовала пара различных пере-секающихся прямых Фу Ф\ таких, чтобы для любых
троек (Л, В, С) точек на Ф и (Л', В', С') на Ф' из
параллельности (ЛВ')||(Л'В) и (АС/)\\(А'С) следовала параллельность (ВС')\\ (В'С).
Обратно, если К коммутативно, то любая пара (Ф, Ф') прямых в & (пересекающихся или параллельных) удовлетворяет этому условию.
Доказательство, а) Предположим, что существуют прямые Фу Ф'у пересекающиеся в точке О и удовлетворяющие высказанному требованию. Выберем точки С е Фу В' е Ф\
С любой парой (Ху у) элементов К* свяжем точки Л, В на Ф и точки Л', С' на Ф\ определив их условиями
