Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.3. Проективная плоскость над конечным полем порядка & содержит в точности /г2 -р + /г + 1 точек и /г2 + & + 1 проективных прямых.
6. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ.
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ
Стандартная проективная прямая
Напомним, что стандартная проективная прямая р1 (К) = р(К2) есть фактормножество /(2Х{(0»0)} по отношению эквивалентности 91\
(*', уг) 91 (л:, у) (Зк е К*) х' = кх, у' — ку.
Ради краткости класс эквивалентности пары (х, у) будет обозначаться <х, */>.
В соответствии с общей теорией (§ 4) Р1(К) изоморфно проективному пополнению К = ^С11 {о°} аффинной прямой /С. Точнее, мы отождествляем каждый элемент Х^К с элементом (X, 1> из Р1 (/С) (что сводится к отождествлению К с аффинной прямой у = 1 в К2). Отсюда следующее правило (если не оговорено противное):
Точка (X, р> из Р 1(К) отождествляется с элементом в К при ф 0 и обозначается оо, если
р = 0.
Параметризация проективной прямой
Легко получается следующее
Предложение 6.1. Если А = р(а) и В = р(Ь)—< две различные точки проективного /^-пространства Р(?), то в Р (?) существует единственная проективная прямая, содержащая А и В. Это есть множество точек вида р{Ха + \хЬ), где (Я, \х) пробегает К2\{(0,0)}.
В самом деле, поскольку Л и В различны, векторы а, Ь^Е независимы и искомая проективная прямая
т
ГЛ. IV. ЭЛШЁМЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
индуцируется векторной плоскостью, порожденной а к Ь. Эта проективная прямая будет просто называться прямой (Л В).
Действительно, отображение /: К2 -> Е, (Я, р)н~* ь->Яа + Р^ является изоморфизмом К2 на плоскость Р = \/ес{(а,&) в В, и этот изоморфизм индуцирует гомографию Р (К2) на прямую (АВ). Сформулируем следующее
Предложение 6.2. Если А — проективная прямая, соединяющая две точки А = р(а) и В = р(Ь) проективного /(-пространства Р(В), то параметризация
Р1 (К) -» А, (Я, р) р (1а + 1хЬ)
является гомографией.
Замечание 1. Если Р (Е) — проективное пополнение аффинного пространства <§ и если & отождествить с собственно аффинной гиперплоскостью в Е, то можно положить а =* Л, Ь — В. Тогда точка р(Яа + р6) будет барицентром (Л, Я) и (В, р); при Я -{- р = О он находится в бесконечности. Это замечание позволит нам переходить от аффинной точки зрения к проективной и обратно.
Гармонические четверки
? Определение 6.1. Пусть Л, В — две различные точки проективного /(-пространства Р(?), и пусть ае & р~1 (А), Ь & р~1 (В). Гармонически сопряженной с точкой С = р(Яа + р&) прямой (АВ) относительно точек А и В называется точка В=:р(Яа— рЬ) той же прямой.
Легко проверить, что точка В не зависит от выбора а в р~1(А) и Ь в р~х(В)\ она единственным образом определена заданием точек Л, В, С.
Если В выбрана указанным образом, то говорят, что (Л, В, С, В) — гармоническая четверка.
Если С = Л, то р = 0 и В = С = Л. Если С = В, тоЯ = 0иВ = С = В.
? Если Л, В, С различны, то можно выбрать а и Ь так, что С = р(а + Ь); в этом случае В = р(а— Ь) (достаточно заменить а на Ха и Ь на рб). Теперь легко видеть, что С и О совпадают только в том слу-
в. ПРОЕКТИВНОЕ •ДОЯМШ.<’ГАРМОНИЧЁСКОВ ОТНОШЕНИЕ Щ
чае.у когда К — поле характеристики 2: в самом деле, существование скаляра К, такого, что а — Ь = к(аф ,+ Ь), влечет ?=1 =—1 (так как пара (а, Ь) свободна).
Основной пример
Предложение 6.3. Пусть Л, В — две точки аффинного пространства & над телом характеристики Ф2У С — их середина и сю — бесконечно удаленная точка прямой (АВ). Тогда (Л, В, С, оо) — гармоническая четверка в
Доказательство. Отождествим & с собственно аффинной гиперплоскостью векторного пространства В, что позволит положить & = Р (Е) и воспользоваться приведенным выше замечанием 1; тогда С = (Л +, |+ В)/2 = р(А + В), в то время как р(А—В)—бесконечно удаленная точка прямой (АВ). Таким образом, (Л, В, С, сю) — гармоническая четверка в &.
В частности, если а, |3 — различные элементы тела К характеристики ф2у то (а, |3, (а + Р)/2, ангармоническая четверка в Р 1(К)= КII {°°}-
Замечание 2. Если Л, В — две различные точки аффинного пространства ^ и 1, р — скаляры, такие, что X ф р и Я + р=7^=0, то точки С = ^((ЛД), (В,р)) и И = Ш( (Л, Я), (В,—р)) гармонически сопряжены относительно Л и В в & и принадлежат <?. Мы говорим тогда, что точки (Л, В, С, В) находятся в гармоническом отношении в
Свойства гармонического отношения
Отношение «(Л, В, С, В) — гармоническая четвер-' ка» очевидным образом симметрично, с одной стороны, по первой паре точек Л, В и, с другой стороны, по второй паре С, В (достаточно поменять местами а и Ь и заменить Ь на —Ь в определении 6.1). Кроме того, имеет место
Предложение 6.4. Если характеристика основного тела К отлична от 2 и гармоническая четверка [(Л, В, С, В) состоит из различных точек, то четверка [(С, В, Л, В) также гармоническая.
144 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Доказательство. Так как точки Л, В, С различны, можно положить А = р(а)} В = p(b)f С = р(а + Ь), откуда D = р(а — Ь). Положив с = а + 6, d = а — 6, пол-учим c-fd = 2a и с — d — 2by откуда, в силу саг(/С)^=2, имеем A = p(c-\-d), В = р{с — d). Таким образом, (С, Д Л, В) — гармоническая четверка.
