Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 41

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 95 >> Следующая

Продолжение барицентрических координат
Пусть & — аффинное пространство, отождествленное с собственно аффинной гиперплоскостью своего векторного продолжения Р~ §. Мы видели (§ III. 7), что аффинные реперы & отождествляются с базисами Ру принадлежащими <§. Предположим, что <§ имеет некоторую конечную размерность п и что (в0, вь ...
еп) — один из таких базисов, а р — каноническое проектирование Т7* на Р(/7).
Для любого элемента однородные барицент-
рические координаты х в аффинном репере (в,) отождествляются с однородными координатами р(х) в
п
базисе (вг) и удовлетворяют условию ^ х1 ф 0.
о
С другой стороны, векторное подпространство Е пространства У7, направляющее для допускает в
п
базисе (в/) уравнение ?х1= 0 (см. предложение
о
III. 7.1). Таким образом, Р (Е) есть множество точек Р^/7), однородные координаты которых в базисе (е*)
п
удовлетворяют уравнению ** = 0.
о
? Если (е*)0</<гг аффинный репер аффинного пространства &у ТО МОЖНО отождествить семейство (в,)) С базисом его векторного Продолжения <?у и однородные координаты в & = Р (<§) в базисе (ег) составят? продолжение однородных барицентрических координат в & относительно аффинного репера. Точка с однородными координатами принадлежит & или &оо = Р (?), смотря по тому, будет ли ? х{ Ф 0 или X) Х1 = 0.
Это замечание позволит нам свободно пользоваться барицентрическими координатами, избегая некоторых затруднений |(см. § 6). Связь между этим ти-
S. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
пом1 однородных координат и «проективными реперами» изучается в упр. IV, 4.
С другой стороны, проективное обобщение «основной теоремы аффинной геометрии» рассматривается в § 12.
5. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
Напомним сначала, что каждое правое векторное пространство над телом К можно рассматривать как левое векторное пространство над противоположным телом (см. § II. 2). Теория правых проективных пространств сводится, таким образом, к теории левых проективных пространств; уточним только, что если Е — правое векторное пространство над телом К, то соответствующее ему проективное пространство опре* деляется факторизацией Е* по отношению эквивалентности 31, определенному соотношением
у&х<=>(ЗХ е К*) у — хХ. (1)
|> Итак, если некоторая теорема верна для всех левых проективных пространств, то она остается верной mutatis mutandis1) и для всех правых проективных пространств.
Далее, если Е — левое векторное пространство конечной размерности п над телом К, то его сопряженное Е* есть правое векторное пространство той же размерности п над К (§ II. 6) и отношение ортогональности устанавливает биекцию X множества
векторных подпространств в ? на множество вектор.-ных подпространств в ?*, удовлетворяющую (теорема II. 7.2) условиям dim(jf) + dim(V°)= п и X cz a Y<=>X°zd Y°. В частности, ортогональной к прямой (соотв. гиперплоскости)2) в Е будет гиперплоскость (соотв. прямая) в Е*. При переходе к проективным пространствам немедленно получается
Теорема 5.1. Пусть Е — конечномерное векторное пространство и Е* — его сопряженное. Отношение
J) «С необходимыми изменениями» (лат.). — Прим. перев.
2) Здесь и далее можно читать «аннулятором прямой (гиперплоскости)».— Прим. перев,
140 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ортогональности между Е и ?* индуцирует биекцию } пространства Р (Е) на множество Ж* проективных гиперплоскостей пространства Р (?*) и биекцию ? пространства Р(Е*) на множество Ж проективных гиперплоскостей Р(?), такие, что
(у^еР(Е), уН*=Ж) x<=H<=>g-l(H)e=f(x).
В самом деле, точкам из Р (Е) (соотв. Р(?*)) отвечают векторные прямые из Е (соотв. ?*), а векторным гиперплоскостям из Р (Е) (соотв. Р(?*)) отвечают векторные гиперплоскости из Е (соотв. ?*).
Отсюда немедленно выводится
? Принцип двойственности. Если теорема верна для всех конечномерных проективных пространств, она Останется верной и при перестановке слов «точки» и «проективные гиперплоскости» и при перемене условий «точка М принадлежит гиперплоскости Ь» и «гиперплоскость М содержит точку Ь».
Этот принцип будет широко использован в случае проективной плоскости (когда проективные гиперплоскости являются проективными прямыми). При этой двойственности «точки, лежащие на одной прямой», отвечают «прямым, проходящим через одну точку».
Случай конечного поля
Установим сначала следующее
Предложение 5.2. Если К — конечное поле порядка к, то всякое я-мерное проективное пространство над К содержит в точности 1 + к + ... -(- № точек.
Доказательство. Результат верен для размерности п — 0. Предположим, что он верен для размерностей ^я—1. Тогда всякое я-мерное проективное пространство над К является дизъюнктным объединением я-мерного аффинного пространства ё над К (мощности кп) и (я—1)-мерного проективного пространства ёоо над К мощности 1 + & + ... + кп~х\ итак, результат верен и для размерности я.
В частности, проективные прямые над К содержат, к^Х точек.
6. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ 141
В силу двойственности, всякое проективное пространство размерности п над К содержит столько же проективных гиперплоскостей, сколько и точек. В частности, имеет место
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed