Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
? Это замечание позволит нам одновременно рассматривать задачи аффинной геометрии в 3 и проективной геометрии в 3. Ради краткости точка с однородными координатами (х, г/, г) в базисе (єі) будет обозначаться Ь (х, у, г).
Уравнения прямых
В указанных выше обозначениях проективные прямые в 3 индуцируются векторными плоскостями в Е\ следовательно, это подмножества Зу допускающие в базисе (єі) уравнение вида ха + */Р + = 0, где
(а, р, у)е/(3\{0, 0, 0}. Бесконечно удаленная прямая в 3* снова появляется при а = р = у.
Прямыми, проходящими через А — р(еі), являются те, которые допускают уравнение вида */Р_-{-;гу =
9. ПРОЕКТИВНАЯ5' ПЛОСКОбТьГ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ Й МЕНЕЛАЯ Г55
=^0; точка пересечения такой прямой с прямой (ВС), имеющей уравнение х — 0, есть точка 6(0, (Н,—у^”1*). Аналогично характеризуются прямые, проходящие через В = р{е2) или С == р{еъ).
Заметим далее, что всякая точка Р прямой (ВС), отличная от С, допускает однородные координаты вида (0, 1,—X) и что при X ф 1 скаляр X определен
в аффинной плоскости 3* условием РВ = ХРС. Если же X — 1, то точка 6(0, 1,—1) есть бесконечно удаленная точка прямой (ВС). Отсюда легко получается
? Теорема 9.1. Е[усть В = 6(0, 1,—X), 0 = Ь(—р, 0,1), В = 6(1,—V, 0) — три точки ёР, взятые соответственно на прямых (ВС), (СА), (АВ) и отличные от А, В, С.
a) Для того чтобы прямые (АР), {ВО) и (СВ) имели в 3 общую точку, необходимо и достаточно, чтобы Ярг = —1.
b) Для того чтобы точки Р, 0, В лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы Ярг = 1.
Доказательство. а) Прямые (АР), (В(2), (СВ}
представимы уравнениями
г + уХ = 0, х + гр =* 0, г/ + XV = 0.
Очевидно, что они имеют общую точку тогда и только тогда, когда = —1.
Ь) Точки Р, 0, В лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют три не равных одновременно нулю скаляра а, р, у, таких, что координаты каждой из точек Р, 0, В удовлетворяют уравнению ха + г/Р + гу = 0, откуда получаем условия
р —Яу—-0, у — ра = 0, а —vp = 0,
и ненулевая тройка (а, р, у), удовлетворяющая этим условиям, существует лишь при Х\х\> = 1. ?
Эта теорема очевидным образом обобщает теоремы Чевы (утверждение а)) и Менелая (утверждение Ь)). Она имеет место в случае произвольного тела.
? Обсуждение. При желании можно дать чисто аффинную формулировку. Для этого нужно ограничиться
156 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
случаем, когда Р, (3, Р лежат в и определить скаляры Я, р, V соотношениями
РВ = ХРС, ОС = рОЛ, ЯА = уНВ.
Утверждение Ь) сохраняется без изменений, а утверждение а) заменяется следующим:
а') Для того чтобы прямые (АР), (В(3), (С/?) пересекались в одной точке (соотв. были параллельны)! в необходимо и достаточно, чтобы Х\хч — —1, где
р Ф 1 — Я“"1 (соотв. р = 1 — Х~1 и V = (1 — Я)"“1).
Действительно, если Яpv = —1, то точка пересечения прямых (АР), (ВС}), (СР) есть Ь( 1,—V, vЯ), и эта точка лежит на бесконечности, если р = 1 — Я"1 v = (l — А,)-1.
От теоремы Менелая к теореме Чевы
Заметим, что при любом Яе/( точки Р =* ?= Ь(0, 1, —Я) и Р' = 6(0, 1, Я) гармонически сопря-
жены относительно В и С; в самом деле, четверка (В, С, Р, Р') является образом гармонической четверки (0, оо,— ЯД) при гомографии Р‘(Х) на прямую (ВС), заданной условиями ф(Я) = Ь(0, 1Д), если Яе К, и ф(оо) = С (см. § 6).
Полагая по-прежнему <3 = 6 (—р, 0, 1) и Я => *=6(1,—V, 0), мы увидим, что отношение «точки Р, <3, Р коллинеарны» равносильно отношению «прямые (АР'), (ВС), (С/?) проходят через одну точку»
(см. рис. 8): мы вновь приходим здесь к построению,
10. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
157
гармонически сопряженной с Р точки относительно (В, С), которое было дано в § 7.
Аналогичную эквивалентность мы получим, если вместо замены Р на Р' заменим С} на ()' = 6(р,0, 1) (гармонически сопряженную с <3 относительно (С, А)) или У? на Я' — Ь (1, V, 0) (гармонически сопряженную с У? относительно (А, В)). Кроме того, отношение «Р, (?, 7? коллинеарны» равносильно «прямые (АР'), (ВС}'), (СЯ') проходят через одну точку».
Если основное поле К имеет характеристику 2, то Р = Р', <2 == <2', р = Я', и мы вновь приходим к конфигурации Фано (см. § 7, рис. 7).
10. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Пусть П — проективная плоскость над произвольным телом К, для определенности — левая. Напомним, что ради краткости мы обозначаем точку пересечения двух проективных прямых (АВ) и (СВ) через (А5)П(СР); условимся также, что слово «треугольник» обозначает тройку неколлинеарных точек.
Проективная формулировка теоремы Дезарга
Теорема 10.1. Пусть (А, В, С) и (А', В', С') — два треугольника проективной плоскости П, такие, что прямые (А А'), (ВВ'), (ССГ) все различны. Для того чтобы они имели общух точку, необходимо и достаточно, чтобы точки Р = (ВС)[}(В'С'), (3 = (СА)П
П(С'А'), Я — (АВ)[)(А'В') лежали на одной прямой (см. рис. 9).
Доказательство. а) Необходимость. Положим
П = Р (Е) и обозначим через р: П каноническую
проекцию.
При А = А/, В=г-В' или С = С/ результат очевиден, поэтому допустим, что А Ф А', В Ф В', С ф С', и положим А = р(а), В=^р(Ь), С~р(с).
Если прямые (АА'), (ВВ ), (СС') имеют общую точку 5==р(5), то найдутся такие скаляры X, \х, V, что А' = р (в ф Ха), ?'= р (я + цб), С' = р($ + ^). Далее проверяем, что точка р(\хЬ — ус) есть точка Р пересечения прямых (ВС), (В'С'); аналогично,
