Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Обобщение. Чтобы сохранить справедливость предложения 6.4 и в случае, когда точки не являются различными, можно условиться, что четверка с тремя Совпадающими точками и одной отличной от них—• всегда гармоническая.
Этот случай мало интересен, и практически мы ограничиваемся лишь четверками несовпадающих точек.
^ Теорема 6.5. Пусть (AyByCyD)—гармоническая четверка в проективном пространстве Р(?) и ср:-Р (Е) ->? Р (F) — полупроективный морфизм. Если все точки ф(Л), ф(В), ф (С), ф(В) определены, то либо они все совпадают, либо образуют гармоническую четверку.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда Л, В, С различны, что позволяет положить А = р(а), В = р(Ь)у С = р(а-\~Ь) и D = р(а — Ь).
Обозначим через q каноническое проектирование F, на P(F) и предположим, что ф индуцировано полулинейным отображением /: E->F. Полагая
a'= f {a), b' = f{b), получим q>(A) = q(a'), q>(B)=q{b')f 4>(C) = q(f(a + b)) = q(a' + b') и y(D) = q (f (а — b)) ==» = q (a' — b').
Если a'y b' зависимы, то точки ф(Л), ф(В), ф(С), ф(?) совпадают; если пара (а', &') свободна, то они образуют гармоническую четверку.
В частности, если ф — гомография Р (Е) на Р (В), то образ любой гармонической четверки из Р (Е) есть гармоническая четверка в Р (?).
? Следствие. Пусть Д — проективная прямая проективного /(-пространства Р (Е) и ф: Р1 (К)-*- Д — томографическая параметризация Д (см. предложение 6.2); для того чтобы четверка точек Д была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы их параметры
6. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ 145
находились в гармоническом отношении в Р{(К).
Этот результат приводит нас к изучению гармонических четверок в Р1 (К) — К и {°°}-
Условие гармоничности четырех элементов а, р, V,
беРЧК)
При Р1 {К) = К11 {°°} случай, когда одна из точек а, р, у, б находится в бесконечности, решается в предложении 6.3 с учетом симметрий гармонического отношения. Например, (а, оо, у, б)— гармоническая четверка тогда и только тогда, когда у + б = 2а {записанное в этой форме условие сохраняет силу и в случае характеристики 2). Поэтому можно считать а, р, у, б элементами К и с помощью гомографии свести дело к случаю а = 0 и р = оо, получив условие гармоничности в виде у + б = 0.
? Предложение 6.6. Для того чтобы четверка ^а, р, у, б) различных элементов К была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
(V — Р)-1 (V — а) = — (6 — р)7! (б — сх). (1)
1Доказательство. По соглашению, принятому в начале параграфа, любой элемент Х^К отождествляется с элементом (X, 1> из Р1 (/С) - Пусть ф при фиксированных скалярах а, р (а ф Р) есть гомография Р^/С), индуцированная линейным отображением §: К2-+К2, (х, у)*->(х — уа, х — г/р). Имеем
ф («) = (/ («. !)> = <0. а — Р) = 0,
Ф (Р) = </(Р, 1)) — (Р а. 0) = оо,
и гармоничность (а,р, у, б) равносильна гармоничности (0, оо, <р(у), ф(б)), т. е. <р(у) + ф(б) = 0. Итак, получаем
ф(у) ==<у — а, у — Р) =--(у — Р)Л (V — а).
Ф(6) = (6-а, 6-р) = (б-рГ1(д-а),
откуда и следует (1).
Можно проверить, что это условие сохраняется
при перестановке аир или у и б или [а, Р) и (у, б).
146 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРЦЦ ,
Далее заметим, что найденное условие не зависит от способа отождествления Р’(Я) с /СU {оо}, так как его изменение приводит лишь к гомографии Р‘(/С)-
,В [ARJ, § 9 гл. II, с. 111 и далее, можно найти различные эквивалентные формы соотношения (1). В случае коммутативного К запись (1), очевидно, наиболее удобна (см. упр. IV. 18).
Если характеристика К равна 2, то (1) влечет а = р или у = ?; если же эта характеристика Ф2, то соотношение (1) все еще можно считать верным и в случае у = (а + Р)/2, ? = оо, если условиться, что (оо — р)-*(оо—а)= 1.
Интерпретация гармонических гомологий
Предложение 6.7. Пусть Р (Е) — проективное пространство, Р (Я) — проективная гиперплоскость в Р (Е) и S = P(D) — точка в Р(?)\Р(Я). Гармоническая гомология с центром 5 и гиперплоскостью Р (Я) (см. пример 3 § 3) есть биекция ф пространства Р(Я), определенная следующими требованиями:
i) если M — S, то ф(ЛР) = М;
ii) если М Ф S и Р обозначает точку пересечения Р(Я) с прямой (SM), то четверка (Я, Р, М, <р(А1)) гармоническая (откуда ф (М) = М, если М = Р).
Доказательство. Напомним (см. пример 3 § 3), что ф есть гомография Р(Е), индуцированная симметрией f пространства Е в направлении D относительно гиперплоскости Я. Для любых sеЯ*, йеЯ, и (х, у) е К2 выполнено f{xs + yh) — —xs -f yh\ итак, образ при ф точки М = р (xs + yh) есть точка ф(ТИ) = /7(—xs-{-yh), гармонически сопряженная с М относительно пары S = p(s) и Р — p(h). ?
В частности, если А, В — две различные точки проективной прямой А, то можно получить инволю-тивную гомографию ф, положив по условию (VM s еД) (А, В, М, ф(М) )—гармоническая четверка (в нашем случае размерность Р (Е) равна 1).
Заметим в заключение, что любая биекция проективной прямой, переводящая гармонические четверки в гармонические, полупроективна, если характеристика К ^ 2 (см. упр. IV. 19) ,
7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ 147
