Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 48

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 95 >> Следующая

ОЛ = хОСу ОВ = уОА = ухОСу
ОА' = уОВ\ ОС' = хОА' = хуОВ'.
Тогда АС' — хСА', ВА' = уАВ' и, следовательно, (ЛВ')Ц(ВЛ'), (ЛС')Ц(СЛ') (см. рис. 12); отсюда вытекает, что (ВС') II (СВ')» и поскольку ОВ = ухОС и
ОС' — хуОВ', то параллельность (ВС') и (СВ') влечет ху == ух.
Тем самым тело К коммутативно (т. е. является полем).
Ь) Предположим теперь, что К коммутативно, и пусть (Л, В, С), (Л', В', С') — две тройки коллинеар-ных точек, для которых (ЛВ') |1 (Л'В) и (ЛС') || (Л'С).
Если прямые Фу Ф\ на которых лежат эти трой-
6 Ж. Лелон Ферран
162
ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ки, пересекаются в точке О, то существуют два скаляра ху уу такие, что
ОА^хОСу ОС = хОАГу ОВ = уОАу бА' = убв'у
откуда находим, что ОС' — хуОВ' и ОВ = ухОСу и
потому в силу ху = ух имеем ВС'==хуСВ' и (ВС')НВ'С).
Если прямые (Ау В у С) и (Л', В\ С') параллельнЫу то утверждение (ВС')\\(В'С) сохраняет силу и без предположения коммутативности К по следующей лемме:
Рис. 12
Предложение 11.2. Пусть 2> и 2)'— две различные аффинные параллельные прямые аффинной плоскости 2 над произвольным телом К и (Л, В, С)е е 2)3у (А\ В'у С') <= 2>'ъ — такие тройки точек, что (АВ')\\(А'В), (ЛС')Ц(Л'С); тогда и (ВС')\\(В'С).
Доказательство. По предположению четырехугольники (АВ'А'В) и (АС'А'С) — параллелограммы (рис. 13).
Следовательно, АВ = В'А' и ЛС = С'Л', откуда
1& = № — АВ = СА' — В'А' = С'& и ВС = #С. ?
Применяя метод отправки в бесконечность, мы можем доказать такое утверждение1):
? Теорема 11.3. Пусть П — проективная плоскость над некоторым телом /(. Для коммутативности К не-
1) По поводу другого доказательства теоремы Паппа см. упр. III.11 и III.16.
11. ТЕОРЕМА ПАППА И КОММУТАТИВНОСТЬ ТЕЛА 163
обходимо и достаточно, чтобы существовали две различные прямые А, А' в П, обладающие следующим свойством (рис. 14):
(Р) Для каждой тройки точек (А, В, С) на А и (А', В', С') на А' точки Р = (ВС') Л (СВ'), <3 = (С А') Л П (Ас'), р — (АВ')(](ВА') коллинеарны.
Обратно, если К коммутативно, то любая пара (А, А') прямых в П обладает этим свойством.
Доказательство, а) Предположим, что существует пара прямых (А, А') со свойством (Р), и пусть А" — любая прямая в П, не содержащая точки 0 = АЛА'. Снабдим множество П\Д" структурой аффинной плоскости, получаемой отправкой прямой А" в бесконечность; пусть Ф = А[\
— аффинные прямые в полученные сужением прямых А, А'. Поскольку точка О не при-
6*
164 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
надлежит 200 = А", прямые 2, 2)' пересекаются в О и мы можем применить к ним теорему 11.1: достаточно воспользоваться свойством (Р) для троек (А, В, С)еД3 и (А', В', С') е А'3, образованных различными точками и таких, что точки <2 = (СА') П (АС') и /? = (АВ')П (ВА') принадлежат бесконечно удаленной прямой А". Точки ф, Я различны, ибо таковы С и В, а коллинеарность Р = (ВС) П (СВ') с С} и Я в П влечет Р^ А". Иначе говоря, в аффинной плоскости 2 условия (СА')Н(АС') и (АВ')Ц(ВА') (где А, В, С принадлежат прямой ^5, а А', В', С' — прямой 2)') влекут (ВС ) || (СВ’) и, значит, К коммутативно.
Ь) Предположим, что К коммутативно (т. е. К — поле). Пусть (А, В, С), (А', В', С')— две тройки различных точек, лежащие соответственно на прямых А, А' плоскости П. Исключим тривиальный случай, когда одна из этих точек совпадает с 0 = ДПА', и положим <2 = (СА') Л (АС'), /? = (АВ') Л (ВА'). Легко видеть, что тогда прямая А" = (С}Я) не проходит ни через одну из точек А, В, С, А', В', С'. Отправляя эту прямую в бесконечность, мы придем к двум тройкам (А, В, С), (А', В', С') коллинеарных точек аффинной плоскости —П\А", для которых (СА')Ц(АС') и (АВ')Ц(ВА'). Тогда и (ВС') || (СВ'), откуда следует, что точка Р пересечения проективных прямых (ВС'), (СВ') плоскости П лежит на бесконечно удаленной прямой А" = №)- ?
12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Цель этого параграфа — дать геометрическую характеризацию полупроективных биекций. Установим сначала некоторые предварительные свойства.
? Предложение 12.1. Для того чтобы подмножество В проективного пространства Р (Е) было проективным подпространством в Р(В), необходимо и достаточно, чтобы любая проективная прямая, соединяющая две различные точки А, В е В, содержалась в В.
12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 165
Доказательство. Необходимость условия очевидна. Обратно, предположим, что условие выполнено, и пусть а, Ь — два различных элемента в р~1(Ь). Тогда А=р(а), В = р(Ь) принадлежат В и для каждой пары (То, |х) ^ /С2, такой, что Ха + \хЬ ф 0, р(Хаф\хЬ) будет точкой прямой (Л?), если Л Ф В, или точкой Л, если Л = В. В обоих случаях р(Хаф\хЬ) принадлежит В и Ха + \лЬ е /г4 (В). Итак, р-1(В)0{О} есть векторное подпространство в В, а В есть проективное подпространство в Р(?). ?
Замечание. Эта теорема аналогична предложению III. 4.8, но здесь нет необходимости предполагать, что К Ф 2122.
? Определение 12.11). Пусть Р(?), Р (В) — два проективных пространства. Коллинеацией Р (В) на Р(В) называется такая биекция, что образы любых трех коллинеарных точек Р (В) коллинеарны в Р(В).
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed