Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Следствие. Всякое проективное подпространство L в Р (Е) допускает каноническую проективную структуру, получаемую ограничением на р~1 (L) отношения эквивалентности (1).
Проективное подпространство в Р(?), индуцированное векторным подпространством V пространства Е, можно отождествить с проективным пространством Р(К) и обозначать просто Р(У) вместо р(К*).
В частности, если V двумерно, то проективные прямые в Р (Е) имеют структуру проективного пространства размерности 1, что оправдывает нашу терминологию.
Предложение 2.2. Пересечение произвольного семейства {Li)i?Bl проективных подпространств в Р(?) есть также проективное подпространство в Р (Я), быть может, пустое.
Доказательство. Полагая L= f] Lh получаем
ie/
p-'(L)= П и р"> (L) U {0} есть пересечение
i ЕЕ I
векторных подпространств р~1 (Lf-) U {0}-
Пример. Заметив, что всякая векторная плоскость и векторная гиперплоскость в Е имеют по меньшей мере общую векторную прямую, получим
? Предложение 2.3. Пусть L — проективная гиперплоскость в Р(?) и Д — проективная прямая в Р(Я), не лежащая в L. Тогда L и Д имеют в точности одну общую точку.
Однородные координаты
Предположим, что Е имеет конечную размерность п+ 1 (и тогда по определению размерность Р(?)
126 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
равна п), и пусть (е1)1<{<п+1 —базис Е. Для произвольной точки х е Р (Е) существует по меньшей мере один (я + 1)-набор (Хи Х2, Хл+1) элементов /С,
такой, что точка 1е? с координатами (Хг) в базисе (е*) принадлежит р-1(д:); тогда говорят, что (Хь Х2, ..., Хл+1)— набор однородных координат точки х относительно базиса (а). Другие наборы однородных координат точки х в этом базисе имеют вид (АХь ...
..., ХХп^.\), где А €Е К*-
Обратно, если (Хь ..., Хл+1)—набор из я + 1 скаляров, не все из которых равны нулю, то существует единственная точка хеР (Е), допускающая их в качестве однородных координат относительно базиса (ег).
В частности, если Е = Кп+\ то задание некоторой точки в Р(/Сл+1) равносильно заданию набора (Хь ... ..., Хп-н) из п + 1 элементов /С, не все из которых равны нулю, определенных с точностью до общего множителя слева.
Отметим, что стандартное проективное пространство Р(/С"+1) обозначается также Рп{К). Понятие проективного репера будет изучено в упр. IV. 4.
3. ПРОЕКТИВНЫЕ МОРФИЗМЫ. ГОМОГРАФИИ
Обозначим через Е, Т7 два левых векторных пространства, через р: Е*-+Р(Е) и у: /7*->Р(/7) их канонические проекции на соответствующие проективные пространства и через /: ?->/7 полулинейное отображение (см. § 11.4).
Если К — основное поле пространства Е и 0 —ассоциированный с I изоморфизм тел, то
(у(А, х)^КХЕ) /(А, х) = 0(А)/(х),
и потому соотношение р(х) = р{у) (где (х, у)^Е'Х ХЕ), влечет <7 °/(х) = <7 оДу), когда /(х)Ф0. Ограничение I на Е’ХКег/ проходит, следовательно, через факторпространство, и существует единственное отображение ср: ?\КегР (?), для которого ф_° р =*
3. ПРОЕКТИВНЫЕ МОРФИЗМЫ. ГОМОГРАФИИ 127
= <7°Д что выражается коммутативной диаграммой Е \ Кег / Т7*
р! 1?
р(Е\ Кег /) —? Р (Е)
Ф
Определение 3.1. Если /: Е-+Р— линейное (соотв. полулинейное) отображение, то отображение ср: р(Е\Кег 1)-+Р (Е), удовлетворяющее указанным условиям, называется проективным (соотв. полупроек-тивным) морфизмом Р (Е) в Р(/7), индуцированным /.
? Заметим, что ср определено на всем Р (Е) только
тогда, когда / инъективно (т. е. когда Кег / = (0}).
Примеры. 1) Пусть I — эндоморфизм ?, получаемый проектированием на векторную гиперплоскость Н параллельно векторной прямой О (не содержащейся в Я). Тогда Кег/ = ?) и р(П*) есть точка 5 в Р(?). Морфизм ф, индуцированный /, является отображением Р(?)\{5} на проективную гиперплоскость р(Я*); соотношение
(у/х <= ?#) / (х) — х ^ Я
показывает, что точки М = р(х), ф(М) = р (х) и 5 = /?(?)*) принадлежат одной и той же проективной прямой в Р (Е). Это дает простую геометрическую интерпретацию ф: для каждой точки МеР(?)\{5} точка ф(М) есть точка пересечения прямой (5М) с проективной гиперплоскостью Р(Я).
Полученный таким способом проективный морфизм будет называться проектированием Р (Е) из центра 8 на проективную гиперплоскость Р(Я).
По поводу обобщения этого примера см. упр. IV. 6.
2) Проективные морфизмы в случае конечной размерности. Предположим, что Е, Р конечномерны, и пусть (е,) — базис в Я, а (е';) — базис в /\
* \ \ </<р
Линейное отображение Е->Р определяется зада-
V
нием матрицы (а^), такой, что / (^) = 2 аце]- Обоз-
128 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
начим через ф проективный морфизм, индуцированный /, и через (хг) набор однородных координат точки JteP(?') в базисе (ег). Тогда точка ф(х) допу-
П
скает скаляры #/=2*гаг/ в качестве однородных
i=i
координат в базисе однако следует заметить,
что матрица (аг/) не полностью определяется заданием ф, как показывает следующий общий результат:
Предложение 3.1. Пусть Е, F — два векторных пространства над телами /С, КДля того чтобы два полулинейных отображения Д g из Е в F индуцировали один и тот же полупроективный морфизм ф: Р (Е)-^-Р (F), достаточно, чтобы существовал ненулевой элемент k е такой, что g = kf\ это условие также и необходимо, если ф не постоянно.
