Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ
Теорема 7.1. Пусть Дь Д2, Аз, Д4 — четыре прямые проективной плоскости П, имеющие общую точку 5, Если существует проективная прямая А в П, такая, что точки А/ПА образуют гармоническую четверку, то то же самое выполняется и для любой другой проективной прямой А', не проходящей через 5,
Доказательство. Это вытекает из того, что проекция из центра 5 определяет гомографию А на А', и из теоремы 6.5 (см. рис. 4).
в
^ Определение 7.1. Если четыре прямые проективной плоскости удовлетворяют условиям теоремы 7.1, то будем говорить, что они образуют гармоническую четверку (прямых)1).
Ради общности говорят, что четыре (пересекающиеся в одной точке или параллельные) прямые аффинной плоскости 3* образуют гармоническую четверку, если ее образуют их пополнения в &.
1) Это частный случай понятия «гармонической четверки ги-перплоскостей» в произвольном проективном пространстве ^см. упр. IV. 24),
148* ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример. Пусть ЗР— аффинная плоскость над телом К характеристики Ф2 и (Л, Ву С, О)— параллелограмм в 9. Тогда диагонали Ль Д2 и «медианы» Аз, Д4 этого параллелограмма образуют гармоническую четверку (см. рис. 5).
В самом деле, эти четыре прямые пересекаются в одной точке, их проективные пополнения Ах, Д2, Аз, Д4 пересекают проективную прямую А = (АВ) плоскости ЗР в точках Л, Ву Доо, /, где Аоо — бесконечно удаленная точка прямой А, а I — середина отрезка [Л, В]. Сформулированное утверждение вытекает теперь из предложения 6.3.
С помощью отправки в бесконечность отсюда можно вывести следующую более общую теорему.
? Теорема 7.2. Пусть П — проективная плоскость над телом характеристики Ф2 и (ЛВС О)—четырехугольнику образованный четырьмя точками, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Обозначим *) Е = {АВ) П (СО)у Т7 = (АО) П (ВС), б = (АС) П (ВО). Тогда прямые (6ЛС), (вВО), (СЕ)у (б/7) образуют гармоническую четверку (см. рис. 6).
!) Точку пересечения прямых (АВ) и (СИ) мы обозначим (АВ) Л (СО),
7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Н9
Доказательство. Если мы отправим в бесконечность прямую {ЕР) у то получим аффинную плоскость, в которой {А В С О)—параллелограмм с центром О, и тем самым вернемся к предыдущему примеру.
Замечание. Если выполнить те же действия в случае тела характеристики 2, то (Л В С В) по-прежнему перейдет в параллелограмм, но его диагонали |[(ЛС) и {Вй) будут параллельны. Это означает, что точки Еу В, 6 лежат на одной прямой; на рис. 7 изображена так называемая конфигурация Фано. Она позволяет охарактеризовать проективные плоскости над телами характеристики 2. Сформулируем
? Предложение 7.3. Для того чтобы основное тело пооективной плоскости П было характеристики 2,
150 , ;ГЛ. ЛV; ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
достаточно, чтобы существовала четверка точек-Л/В, С, Д никакие три из которых не лежат на одной прямой, такая, что точки Е = (ЛВ)П (СО), Е = (Л?>)П П(ВС), <3 = (ЛС)П(В?>) коллинеарны, и тогда то же самое имеет место для любого четырехугольника в П.
Действительно, в аффинной плоскости 3 из существования настоящего параллелограмма с параллельными диагоналями следует, что характеристика равна 2; тогда то же самое имеет место и для любого параллелограмма.
Применение к построению гармонически сопряженной точки
Если даны три точки Л, В, Е на прямой, то легко восстановить рис. 6, проведя две различные секущие (ЛВ) и (ВЕ), а затем секущую (?С?); точку б выберем как пересечение прямых {ВО) и (ЛС); тогда гармонически сопряженной с Е относительно точек Л и В будет точка Е' пересечения прямых (<ЗЕ) и (ЛВ). Из этого построения ясно, что всякая биекция П, переводящая прямые в прямые, сохраняет гармоническое отношение. Можно было бы воспользоваться этим для доказательства основной теоремы проективной геометрии (см. § 12 и упр. IV. 19).
Тот же рисунок позволяет построить четвертую прямую гармонической четверки по трем заданным; положив Д1 = (ЕЛ), Д2 = (ЕВ), Д3 = (Е?), получим Д4 = (ЕС).
Наконец, тот же рисунок позволяет доказать, что понятия «гармонических четверок» для точек и прямых двойственны (см. упр. IV. 25).
8. ГОМОГРАФИИ ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ.
ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ
? Теорема 8.1. Пусть Д, Д'— проективные прямые над одним и тем же телом /С. Для любой тройки (Л, В, С) различных точек Д и любой тройки (А\ В', С') различных точек Д' существует по меньшей мере одна гомография <р прямой Д на Д', такая, что Ф(Л) = Л', ф(В)^В'А ф([С}= С\ Более того, эта го-
8. ТОМОГРАФИЯ ПРЯМОЙ. ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЙ 161
мография единственна тогда и только тогда, когда тело К коммутативно (т. е. является полем).
Доказательство. Положим А = Р (Е), А' = Р (?'), где Е, В' —две векторные плоскости над К. По сделанному выше замечанию (стр. 142) в Е существует базис (а, 6), а в Е' — базис (а', 6'), такие, что
А = р (а), В = р(Ь), С = р(а + Ь),
А/ == р' (а'), В' = р' (Ь\ С = // (а' + 6'),
где р (соотв. //) обозначает каноническую проекцию ?* на А (соотв. Е[ на А').
Для того чтобы линейное отображение /: Е-^Е' индуцировало гомографию, удовлетворяющую наложенным требованиям, необходимо и достаточно, чтобы существовали три элемента а, |3, у из К*, такие,
