Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Обратно, имеет место
Предложение 12.7, Пусть Р (?"), Р (F) — два проективных пространства одинаковой конечной размерности п, и пусть f: Р (?) -> Р (F) — биекция, удовлетворяющая условию (1). Тогда f является продолжением на Р(?) некоторой коллинеации /: Р (Е)-*--+Р (F).
Доказательство, а) Покажем сначала, что f сохраняет размерность. Для этого рассмотрим произвольное проективное подпространство X размерности k пространства Р(?). Обобщением процедуры, примененной при доказательстве предложения 12.3, можно построить конечную строго возрастающую последовательность (L-1, L0, Lu ..., Ln) проективных подпространств из Р(?), такую, что L-1 = 0, Ln = P(E)y Lk = X и dim(L/) = / для всех /*). Из того что f биективно и удовлетворяет условию (1), вытекает* что последовательность (L/ = f(L/)) строго возрастает
*) Напомним, что пустое подмножество в Р (Е) рассматривается как проективное подпространство размерности —1, тогда как точки Р (Е) суть проективные подпространства размерности 0.
12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 169
{—1^/^п). Следовательно, имеют место неравенства
— 1 < dim (Blj) < dim (Lq) < dim (L\) < ...
... < dim(L')<nf
которые влекут dim (LJ) = j для всех j и, в частности,
dim (f (X)) = dim (Lk) = k.
b) По предыдущему, образ точки М из Р (Е) есть проективное подпространство нулевой размерности в Р(В), т. е. сводится к точке, которую мы обозначим /(Л1). С другой стороны, если А — прямая в Р(?), то f( А) есть прямая в Р (F) и условие (1) влечет включение f(A)df(A). Тогда f — коллинеация, и по теореме 12.6 f полупроективна.
Наконец, если X — проективное подпространство размерности k в пространстве Р(В), то f(X) есть проективное подпространство размерности k в Р (F) (так как полупроективная биекция сохраняет размерности подпространств). Далее, соотношение (1) влечет f(X)czf(X) (так как образы точек из X при отображении f суть подпространства в P(F)9 содержащиеся в f (X)), и поскольку f (X) есть проективное подпространство в Р (F) той же размерности, что и f{X), то f (X) = f (X). Итак, f действительно есть продолжение / на Р (Е). ?
В случае пространств одинаковой конечной размерности можно, следовательно, определить коллинеации как биекции Р(?) на Р (F), удовлетворяющие условию (1).
По аналогии введем
^ Определение 12.2. Пусть Р(?), P{F) — два проективных пространства одинаковой конечной размерности п. Корреляцией Р(?) на Р (F) называется биекция ф: Р (Е)~>Р (F)t удовлетворяющая условию:
(VX, FgP (?)) X <= Y => Ф (X) id Ф (Y). (2)
170 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример. Если Е* — пространство, сопряженное с Е> то отношение ортогональности определяет корреляцию ?E: Х\->Х° пространства Р (Е) на Р{Е*) (см. § II. 6).
Если <р: Р (Е) -> Р(Е) — произвольная корреляция, то непосредственно видно, что фо ?El — коллинеация Р (?*) на Р (F). Поэтому можно сформулировать
Предложение 12.8. Любая корреляцияР (Е) на P(F) имеет вид ф = /о0?, где / — некоторая коллинеация Р(?*) на Р (F)y a ?E — корреляция Р (Е) на Р(?*), определенная отношением ортогональности.
По поводу построения корреляций с помощью полуторалинейных форм см. [FR], гл. V.
Глава V
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ АФФИННОЙ И ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЙ
1. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Целью этой главы является обоснование аффинной и проективной геометрий при помощи простых аксиом, не использующих иных свойств, кроме принадлежности точек прямым и пересечения прямых, проверяемых (в некотором смысле) с помощью одного простого правила. Мы ограничимся по существу геометрией плоскости, которая только и приводит к но-ным структурам; «аффинная» и «проективная» точки зрения будут тесно перемешаны. Случай пространственной геометрии рассматривается в § И и 12.
Уточним прежде всего рамки нашего исследования, введя понятия «плоскости проективного типа» и «плоскости аффинного типа»1).
Плоскости проективного типа
? Определение 1.1. Плоскость проективного типа есть пара, состоящая из
a) некоторого множества П, называемого плоскостью, элементы которого называются точками;
b) непустого множества 3? подмножеств П, называемых прямыми и удовлетворяющих следующим аксиомам:
Р1 Через две любые различные точки П проходит одна и только одна прямая.
Р2 Две различные прямые имеют общую точку (единственную по аксиоме Р1).
1) В курсах, построенных аксиоматически, говорят просто о «проективной плоскости» и «аффинной плоскости»; мы предпочли избежать двусмысленности, сохранив последние термины для двумерных проективных (соотв. аффинных) пространств над некоторым телом; они являются частными случаями плоскостей проективного [соотв. аффинного] типа.
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Р3 Каждая прямая содержит по меньшей мере три точки.
Р4 Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
Естественно, можно привести и другие, равносильные, формулировки этих аксиом. В частности, можно заменить аксиому Р4 на
Р' Какова бы ни была прямая Д, множество П\А не пусто.
Из этих аксиом вытекает
Предложение 1.1. Плоскость проективного типа содержит не меньше семи точек и семи прямых.
