Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
2. ДИЛАТАЦИИ ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ТИПА
В дальнейшем мы введем (§ 3 и 5) аксиомы, позволяющие перейти от общей структуры «плоскости аффинного типа» к более специальной «аффинной
176
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
плоскости над телом»; мы увидим тогда, что эти аксиомы равносильны существованию достаточно широкой группы преобразований плоскости, состоящей из трансляций и гомотетий. Чтобы облегчить изложение, мы изучим эти преобразования с самого начала, не зная, существуют ли среди них отличные от тождественного.
? Определение 2.1. Пусть &—плоскость аффинного типа. Дилатацией 2Р мы назовем биекцию & на 2РУ такую, что для любой пары различных точек (А, В) прямая (1(А)1(В)) параллельна прямой (АВ).
Очевидно, что тождественное преобразование есть дилатация и что дилатации 9* образуют группу.
Предложение 2.1. Если f — дилатация 9>у то каждая прямая Фу содержащая некоторую точку М и ее образ 1(М)У устойчива относительно / (т. е. 1(Ф) = *=Ф). В частности, любая прямаяу проходящая через неподвижную точку (у устойчива при действии /.
Доказательство. Пусть М е 9. Если / (М) Ф Му обозначим через Ф прямую (М/ (М)); если же / (М) = М, то пусть Ф — любая прямая, проходящая через М. Для всякой точки Р е Ф \ {М} прямая {!(М)?(Р)) должна быть параллельна прямой (МР), т. е. Фу и, следовательно, совпадает с Ф\ отсюда }(Р)^Ф и мы имеем включение / (Ф) а Ф.
Аналогично, если Р^Ф\{[(М)} и /”1 (Р) — прообраз Ру то прямая (М}~1 (Р)) должна быть параллельной прямой (?(М)Р)у т. е. Фу и потому совпадет с Фу откуда }~[(Р)^Ф и }(Ф)1эФ. Окончательно имеем ?(Ф) = Ф.
Предложение 2.2. Дилатация, допускающая две различные неподвижные точкиу сводится к тождественному преобразованию.
Доказательство. Пусть А, В — две различные неподвижные точки дилатации \. По предложению 2.1 любая прямая, проходящая через А или В, устойчива при каждая точка М плоскости 9>у не принадлежа-
2. ДИЛАТАЦИИ ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ТИПА 177
щая прямой (АВ)У является единственной общей точкой пары устойчивых прямых (ЛМ), (ВМ)У откуда и следует, что f (М) = М.
Выбрав такую точку Му мы покажем (теми же рассуждениями), что любая точка, не лежащая на прямой (ЛМ), неподвижна при отображении тем самым любая точка плоскости й9 остается неподвижной при дилатации /. ?
? Определение 2.2. Пусть й9—плоскость аффинного типа. Дилатация без неподвижных точек называется трансляцией; дилатация с одной неподвижной точкой / — гомотетией с центром /. Наконец, тождественное преобразование одновременно рассматривается как трансляция и как гомотетия с произвольным центром.
Свойства трансляций
Предложение 2.3. Если т — трансляция, отличная от Ы^, то прямые (Мт(М)), где М пробегает й5, параллельны.
Доказательство. Пусть М, Р — две точки й9. Если бы устойчивые прямые (Мт(М)) и (Рт(Р)) имели одну общую точку, то она была бы неподвижной при т, что противоречит предположению. Итак, указанные прямые параллельны.
Следствие. Если т — трансляция, отличная от то для любых двух точек М, Р на й9 либо четыре точки Му Ру т(М), т(Р) коллинеарны, либо (М, т(М), т(Р), Р)—параллелограмм.
Действительно, (МР) || (т(М)т(Р)) и (Мт(М))|| ||(Рт(Р)) (см. рис. 3).
Предложение 2.4. Для любой пары точек (Л, А') плоскости й9 существует не более одной трансляции т, такой, что х(А) = А'.
Доказательство. При А' = А результат тривиален (т — тождественное отображение), поэтому предположим, что А/ ф Ау и обозначим через 2) прямую (ЛЛ'). Образ Мг любой точки МеА2) полностью опре-
178 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
делен условием «(АА'М'М)—параллелограмм». Фиксируем такую точку М; теперь образ Р' каждой точки Ре <29 полностью определен условием «(ММ'Р'Р) — параллелограмм» (рис. 4). Итак, задание образа Л' = т(Л) определяет т. ?
Предложение 2.5. Трансляции плоскости аффинного типа образуют группу.
Доказательство. Пусть а, т — две трансляции 9* и Ф == т—1 ° о. Ясно, что ф — дилатация (так как дила-тации образуют группу). Если ф допускает неподвиж-
ную точку Л, то о(Л) = т ° ф(Л) = т(Л), откуда о ==? т по предложению 2.4 и ф = Id^. Итак, ф либо не имеет неподвижных точек, либо совпадает с Id^»; в обоих случаях ф — трансляция. ?
Свойства гомотетий
Если f — гомотетия с центром /, отличная от Id^, то образ произвольной точки МеА{/} принадлежит устойчивой прямой (IM) (предложение 2.1). Отсюда выводится
Предложение 2.6. Если /, Л, Л' —три коллинеар-ные точки А, причем А ф /, А' Ф 1, то существует не более одной гомотетии f с центром /, такой, что f(A) = А'.
Доказательство. Обозначим прямую (/ЛЛ') через
2), и пусть f — гомотетия с центром /, такая, что f(Л) = А'. Заметим прежде всего, что образ М' точки М из однозначно определен условиями
«(/, М, М') коллинеарны» и (А'М')\\(АМ). Фиксируем такую точку М\ образ Р' произвольной точки Р из
3. плоскости ТРАНСЛЯЦИЙ
179
ЗУ\ {/} определяется условиями Р'е2) И (Р'М') II || (РМ) (см. рис. 5). Значит, гомотетия / единственна. ?
Предложение 2.7. Гомотетии с заданным центром I образуют группу.
В самом деле, если /, g— гомотетии с центром /, то glf~l—дилатация с неподвижной точкой /.
