Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
3. ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
Изучение, проведенное в § 2, побуждает нас заинтересоваться прежде всего теми плоскостями аффинного типа, на которых группа трансляций действует транзитивно. Введем
? Определение 3.1. Плоскость аффинного типа 3> называется плоскостью трансляций, если для любой пары (А, А') точек 2Р существует такая трансляция т, что т(Л) = А'.
По предложению 2.4 такая трансляция единственна; мы обозначим ее
Покажем, что наложенное требование равносильно геометрическому свойству, проверяемому по чертежу.
^ Теорема 3.1. Для того чтобы плоскость аффинного типа 3* была плоскостью трансляций, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:
? (б) {Малая аффинная аксиома Дезарга.) Если (ЛВС) и (А'В'С')— два треугольника, таких, что (ЛЛ'), {ВВ') и (СС')— три параллельные и различ-
180 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ные прямые, то из соотношений (А'В')\\(АВ) и (А'С') || (АС) вытекает (В'С') || (ВС).
Иными словами: если (АВВ'А') и (АСС'А')—параллелограммы и точки В, С, В', С' не коллинеарны, то (ВСС'В')— параллелограмм.
Доказательство. а) Условие необходимо. Если 3*— плоскость трансляций и (АВВ'А'), (АСС'А')—параллелограммы на 3*, то трансляция т = т^' удовлетворяет соотношениям т(В) = В' и т(С)= С' (следствие из предложения 2.3). Значит, (В'С')\\ (ВС).
Ь) Условие достаточно. Пусть плоскость аффинного типа 3* удовлетворяет аксиоме (d) и (А, А') — пара точек 3*. Существование трансляции, для которой т(А) = А\ тривиально, если А = А'; поэтому положим А' ф А и построим пару точек (В, В') в 3>> таких, что (АВВ'А')—параллелограмм. Тогда мы получим отображение т плоскости 3* ъ 3>, определив образ М' = %(М) точки М следующими условиями (см. рис. 6 и 7) :
i) если М не принадлежит прямой (АА'), то (АММ'А')— параллелограмм;
ii) если М принадлежит прямой (АА'), то (ВММ'В')— параллелограмм.
Очевидно, что т есть биекция 3* на 3, для которой Т(Л) = Л', и что т не имеет неподвижных точек. Мы докажем, что для любой пары (М, N) точек 3 точки М' = т (М ), N' = т (N) удовлетворяют условию (M'N') || (MN).
Первый случай. Ни одна из точек М, N не принадлежит прямой (АА'). Тогда (АММ'А') и (ANN'A') —
3. ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
181
параллелограммы (см. рис. 6). Следовательно, если точки М, М\ N, N' не коллинеарны, то соотношение {M'N')\\{MN) вытекает из аксиомы (d).
Второй случай. Обе точки М, N принадлежат прямой (АА') (см. рис. 7). Тогда и точки М', N' принадлежат этой прямой, и результат очевиден.
Третий случай. Точка М принадлежит прямой {АА'), а точка N не принадлежит ни одной из прямых {АА'), (ВВ').
По построению, {ВММ'В'), {ВАЛ'В'), {AN N'A') — параллелограммы (см. рис. 8). Первое применение аксиомы (d) показывает, что {BNN'B')—параллело-
Рис. 8 Рис. 9
грамм, повторное применение этой аксиомы показывает, что и {N[NN'N1') — параллелограмм, откуда
(М'ЛОНМАО-
Четвертый случай. Точка М принадлежит прямой {АА'), а точка N—прямой {ВВ') (см. рис. 9).
Заметим сначала, что плоскость 0* сводится к объединению прямых {АА') и {ВВ') лишь тогда, когда она состоит из четырех точек А, А', В, В' (см. упр. V. 1).
Так как этот случай был рассмотрен отдельно (предложение 1.5), мы можем предположить, что существует точка Р, не лежащая ни на одной из прямых (АА'), (ВВ').
Положим Р' = т(Р); рассмотрение первого случая показывает, что (ЛФР'Л^)—параллелограмм; третий случай показывает, что {МРР'М') — параллелограмм. Применяя аксиому (б), выведем отсюда, что
182
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
(ММУ'М') — параллелограмм; таким образом,
\М'Ы') II (МАО.
В итоге т есть трансляция, для которой т(Л) = = Л'. ?
^ Теорема 3.2. Группа трансляций плоскости трансляций 9* коммутативна.
Доказательство. Пусть а, т — две трансляции и А — произвольная точка плоскости 9. Положим о(А) = В ит(В)=С.
а
Рис. 10
a) Если точки Л, В, С не коллинеарны, то точка й = х(А) определяется условием «(АВСО) есть параллелограмм», и поскольку В = о(А), то С = о(0) (см. рис. 10), откуда о^т(Л) = о (О) = С = %(В) = = т^а(Л). Предложение 2.4 показывает, что тогда смт = т°с.
b) Если точки Л, В, С коллинеарны, выберем точку Р, не лежащую на прямой (ЛВС) (см. рис. 11), и обозначим через Ф = т? такую трансляцию, что ф (В) = Р. В силу доказанного в п. а) трансляции ф и ф“1 коммутируют сайт (так как, с одной стороны, точки Л, В, Р и, с другой стороны, точки Р, В,
4. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ 183
С не коллинеарны). Подобным же образом трансляции фоа = Тд и то<р“1 = т? коммутируют (в силу не-коллинеарности точек А, Р, С). Следовательно,
т о а = (т о ф“1) о (ф о а) = (ф о а) о (т о ф-1) =
= (а о ф) о (ф~1 о т) = а о т,
откуда аох = тоово всех случаях.
Заметим, что в случае Ь) используется транзитивность группы трансляций. ?
4. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
Отношение эквиполлентности
Определение 4.1. Две (упорядоченные) пары точек (Л, В) и (С, В) плоскости трансляций <Р называются эквиполлентными, если (в обозначениях предыдущего параграфа) т^ = т?.
Определенное так отношение очевидным образом является отношением эквивалентности на 3>2. Классы эквивалентности называем векторами; вектор, представляемый парой (Л, В), обозначаем ЛВ. Множество
