Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 54

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 95 >> Следующая

всех векторов на 3* будет обозначаться 3.
В частности, пары вида (Л, Л), где Ле^, образуют класс эквивалентности, называемый нулевым
вектором и обозначаемый 0 или просто 0.
Если и = АВ — ненулевой вектор, то направление прямой (ЛВ) не зависит от выбора представителя (Л, В) вектора и\ действительно, если (С, В) — другой представитель и, то соотношение т? = т^ влечет (СВ) || (ЛВ). По определению направление ненулевого вектора и = АВ есть направление прямой (ЛВ); два ненулевых вектора называются коллш.еарными, если они имеют общее направление.
Геометрическая интерпретация эквиполлентности
Из построения образа точки М при трансляции (предложение 2.4), с изменением обозначений, выводится следующее правило:
184 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ПрЕдложЕНие 4.1. а) Если Л = В, то АВ = СО равносильно С —О.
b) Если А, В, С не коллинеарны, то ЛВ = СБ равносильно утверждению «(АВСО) — параллелограмм».
c) Если А, Б, С коллинеарны и А Ф В, то АВ — СО равносильно существованию таких двух точек Б, Б, что (АВРЕ) и (СОРЕ) — параллелограммы.
Можно было бы непосредственно изучать отношение эквиполлентности, приняв это правило за определение; симметричность и рефлексивность определенного таким способом бинарного отношения очевидны. Однако доказательство транзитивности исходя из аксиомы (б) (см. § 3) потребовало бы рассуждений, аналогичных тем, которые встретились в части Ь) доказательства теоремы 3.1.
Трансляции, совмещающие пары точек
Предложение 4.2. Эквиполлентность ЛВ--СБ равносильна эквиполлентности ЛС = ВБ.
Доказательство. В принятых обозначениях имеем
ггС гг-С 0 я-В тж я-В -- Я-О 0 я-С
тл — ТВ ТА П ТВ — ТС ТВ-
‘С другой стороны, коммутативность группы трансляций и соотношение = влекут Тд = Тд о = = т2от? = т?. ^
Иными словами, из АВ — СО следует АС—-ВО; противоположная импликация получается изменением обозначений.
Следствие. Для существования трансляции, отображающей пару (Л, В) на пару (С, Б), необходимо
и достаточно, чтобы АВ = СО.
Аддитивная группа векторов
По определению трансляция %ВА зависит только
от вектора и—-АВ; обозначим ее та и будем назы-
вать ее трансляцией на вектор и.
4. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИИ 185.
При таких обозначениях отображение иь->т„
есть биекция множества векторов Ф плоскости 9> на
группу Э~ трансляций эта биекция позволяет пе-
—>?
ренести на 3> структуру группы Поскольку эта
группа абелева, мы примем аддитивные обозначения и введем
Определение 4.2. Суммой и + V двух векторов назовем вектор трансляции ти «.
?>
Тогда очевидно, что (53, +) есть абелева группа с нулевым вектором в качестве нейтрального элемента. С другой стороны, предложение 2.4 и определение 3.1 позволяют нам высказать
Предложение 4.3. Для всякой точки и
всякого вектора и существуют единственная точка В
и единственная точка С, такие, что АВ = и, СЛ = и.
Иначе говоря, можно произвольно выбрать начальную или конечную точку пары, представляющей вектор и.
Предложение 4.4. Каковы бы ни были точки Л, Вг С плоскости выполняется соотношение Шаля
АС = АВ + ВС.
В частности (если С = Л), вектор В А противоположен вектору АВ.
В самом деле, по определению 4.2, АВ + ВС есть
вектор трансляции т?°т^ = т5.
Заметим, наконец, что векторы заданного направ-
*>
ления й образуют подгруппу группы (&, +), которую
мы обозначим {д,-1-)1). действительно, если и — АВ
и V = АС имеют общее направление с/, то точки А,
В, С коллинеарны и вектор V — и = ВС имеет то же направление, что и и о.
!) При этом предполагается, что нулевой вектор принадлежит каждому направлению. — Прим. перев.
186
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
б. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФАЛЕСА В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИИ
Понятие проектирования немедленно распространяется на плоскости аффинного типа: пусть 2— такая плоскость, 2— прямая в 2 и б — направление прямой, отличное от направления 2). Тогда проектирование 2 на 2) в направлении б есть отображение Р%: &~*2% которое каждой точке Ме?1 ставит в соответствие точку пересечения 2 с прямой направления б, проходящей через М.
Начиная отсюда предполагается, что 2 — плоскость трансляций. Тогда имеет место
Предложение 5.1. Пусть (А, В)—пара точек 2. Проекциями пары (Л, В) в направлении б на две параллельные прямые 2), 2)' являются две эквиполлент-ные пары (С, В), (С', В').
Доказательство. Если С = В, то прямая (АВ) имеет направление б и С' = В'.
Если С Ф В, то (СВВ'С')—параллелограмм (рис. 12), откуда и вытекает результат.
Предложение 5.2. Образами при одном и том же проектировании р двух эквиполлентных пар (Л, В) и (С, В) являются две эквиполлентные пары (Л', В') и (С\В').
Доказательство. Пусть р — проектирование в направлении б на прямую 2) и т — трансляция, переводящая (Л, В) в (С, В) (см. следствие из предложения 4.2). Пусть С", Ь" — проекции С, В в направлении б на прямую 2)' = т(2) (рис. 13). Тран-
5. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФАЛЕСА В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ 18/
слядия т сохраняет параллелизм и С" = х(А'), й" = = т (В'), откуда С"Б" = А'В'. Далее, предложение
5.1 показывает, что С"Ь" = С'Ь' и, следовательно, А!В' — С'И'. ?
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed