Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть А — прямая на П и Л, Вг С — три точки Д, а О— точка П\Д. Существует точ-
ка Е прямой (Ай), отличная от А и О, и точка И прямой (ВО), отличная от В и О (см. рис. 1). Тогда прямые (Л/7) и (ВЕ) пересекаются в новой точке что и дает нам семь различных точек. С другой стороны, шесть прямых уже начерчены, и существует по меньшей мере еще одна, седьмая, соединяющая Е иТ
Замечание. Для того чтобы плоскость П содержала лишь семь точек и семь прямых, требуется, чтобы точки С, Е, Т7 были коллинеарны, равно как и точки С, О, 6. Мы вновь получаем конфигурацию Фано, с которой уже встречались в § IV. 7.
Плоскости аффинного типа
? Определение 1.2. Плоскостью аффинного типа называется пара (^, 3?), состоящая из:
1. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 173
a) множества называемого плоскостью, элементы которого называются точками;
b) непустого множества 2? подмножеств называемых прямыми и удовлетворяющих следующим аксиомам:
А1 Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.
А2 Любая прямая содержит не менее двух точек.
А3 Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
А4 (Сильная аксиома Евклида.) Каковы бы ни были прямая Ф и точка существует един-
ственная прямая, проходящая через Л и не пересекающая Ф.
Немедленно получаем
Предложение 1.2. Если (П, 2)—плоскость проективного типа и А — любая прямая в П, то можно получить структуру аффинного типа на П\А, назвав «прямыми» пересечения прямых из П с П\А.
Действительно, две «прямые» из П\А, не имеющие точки пересечения, происходят из двух прямых в П, проходящих через одну и ту же точку А.
Мы увидим, что и, обратно, всякая плоскость аффинного типа может быть канонически дополнена до плоскости проективного типа. Прежде всего имеет место
Предложение 1.3. Если (^, 2?) — плоскость аффинного типа, то отношение параллелизма на <2?, определенное с помощью Ф || Ф'<=^(Ф=Ф' или Ф П Ф'= 0), есть отношение эквивалентности.
Доказательство. Симметрия и рефлексивность введенного отношения очевидны; транзитивность вытекает из условия единственности в аксиоме А4.
Класс эквивалентности, содержащий прямую Ф, будет называться направлением прямой Ф.
Предложение 1.4. Пусть &— плоскость аффинного типа, а — множество направлений ее прямых. На Ф[)Фоо получим структуру плоскости проективного
174
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
типа, назвав прямыми множество 9*«> и каждое множество, получаемое объединением любой прямой из 9* и ее направления.
Доказательство. Проверка аксиом (Р/) не вызывает затруднений: например, существование единственной прямой в ^11^0, соединяющей точку А на 9 с точкой В на 9>ос, вытекает из существования единственной прямой в 9 с заданным направлением, проходящей через данную точку (аксиома А4). С другой стороны, аксиома А3 влечет существование трех не-коллинеарных точек А, В, С, откуда вытекает и существование трех различных направлений прямых, определяемых прямыми (АВ), (ВС), (С А). Следовательно, 9>ос содержит не менее трех элементов.
Определение 1.3. Изоморфизмом плоскости аффинного (соотв. проективного) типа называется биекция на плоскость (того же типа), переводящая прямые в прямые.
Предложение 1.5. Плоскость аффинного типа содержит не менее четырех точек и шести прямых. Она содержит только четыре точки лишь в случае, когда она изоморфна аффинной плоскости Х2 X 22.
Доказательство. Пусть А, В, С — три неколлинеар-ные точки; прямая, параллельная (ВС) и проходящая через А, и прямая, параллельная (АВ) и проходящая через С, пересекутся в четвертой точке О (см. рис. 2); шесть прямых (АВ), (АС), (АО), (ВС), (ВО), (СО) все различны.
С другой стороны, 9 не может сводиться лишь к четырем точкам А, В, С, О, иначе как в случае параллельности диагоналей параллелограмма (АВСО).
п
с
Рис. 2
2. ДИЛАТАЦИИ ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ТИПА 175
В этом случае биекция /: 3* -*/2Х22,
/(Л) = (0,0), /(А) = (1,0), /(С) = (1,1), /(О) = (0,1)
есть изоморфизм. ?
Следствие. Плоскость проективного типа, содержащая ровно семь точек, изоморфна Р2(/2).
Двойственность в плоскости проективного типа
Предложение 1.6. Пусть П — плоскость проективного типа. Аксиомы Р1—Р4 остаются верными, если поменять местами слова «точка» и «прямая» и заменить отношение инцидентности «прямая Д проходит через точку А» двойственным к нему: «точка Д принадлежит прямой А».
Доказательство. Аксиомы Рь Р2 просто поменяются местами. Аксиома Р4 превратится в следующую:
Р" Какова бы ни была точка ЛеП, существует прямая, не проходящая через А.
Это утверждение легко вытекает из Р4.
Наконец, аксиома Р3 превращается в
Р' Через любую точку в П проходит не менее трех различных прямых.
Это утверждение следует из Р3 и Р4. ?
Итак, точки и прямые в плоскости проективного типа играют аналогичные роли, что выявляет также
Предложение 1.7. Если (П, 33)—конечная плоскость проективного типа (т. е. такая, что П — конечное множество), то и 3? — конечное множество той же мощности, что и П (эта мощность ^7 по предложению 1.1).
Напротив, для плоскостей аффинного типа понятия точки и прямой не перестановочны.
