Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 45

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 95 >> Следующая

что
/ (а) — аа', !{Ь) = $Ь', 1(а + Ь) = \с', (1)
откуда
ааг + №' = !(а + Ь) = у (а' + Ь')9
и поскольку пара (а\ У) свободная, а = р = у.
Изоморфизм /1: Е-+Е\ определяемый условиями 1{(а)=а' и 11(Ь)=Ь', удовлетворяет всем нужным требованиям и, значит, <р существует.
Если /С коммутативно, то всякое линейное отображение, удовлетворяющее (1) с а = Р = у, имеет вид / = а/ь и / и /1 индуцируют одну и ту же единственную гомографию ф.
Если К не коммутативно, то существуют два элемента а, X е /С*, такие, что аА, =#= А,а. Тогда линейное отображение /: Е->Е\ задаваемое с помощью
/ (а) =? а а' у / (6) = а удовлетворяет равенствам / (а + ХЬ) = / (а) + Л/ (6) = аа' + в то время как
для 1{ имеем /! (а + Я6) = а' + М/. Поскольку А,а^=аА,, вектор а а' + Алб' не коллинеарен вектору а' + А,6'. Отсюда следует, что гомографии ф, фь индуцированные отображениями / и различны, хотя обе они удовлетворяют всем условиям. Итак, в этом случае ф не единственна. ?
152 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЙ '
Следствие. Если Л, В, С — три различные точки проективной прямой А над полем К> то существует единственная гомография <р прямой А на Р1(К)*=*1 = /(U {°°}, такая, что <р(Л) = сю, <р(В) = 0, <р(С) = 1.
? Определение 8.1. В принятых обозначениях если D — произвольная точка А, то двойным отношением, или ангармоническим отношением, точек Л, В, С, D называется элемент <p(D)^ Р1 (/(), обозначаемый [Л, Ву С, D] (по-английски: cross ratio).
В частности, имеем [Л, В, С, Л] = оо, [Л, В, С, В}?=0, [Л, В, С, С] = 1 и [Л, В, С, D] Ф оо, если D Ф Л.
Следует принимать во внимание, что двойное отношение определено здесь только для случая, когда К — поле (по поводу некоммутативного случая см. упр. IV. 22). Немедленно получаем
Предложение 8.2. Двойное отношение четверки коллинеарных точек есть инвариант любой гомографии.
Выражение двойного отношения в Р1(К)
Рассмотрим прежде всего четверку элементов а, р, уу бе/С, отождествив их с элементами <а, 1>, <Р, 1), <Т, 1>, <б, 1> из Р1 (/С) (см. начало § 6). Для того чтобы линейное отображение /: К2-* К2 индуцировало гомографию, для которой <р(а)= сю и ф(Р)2=я *= 0, необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид
/: (х, y)v-^{X{x — fiy), \1(х — ау)),
и требование ф(y) = 1 будет равносильно к(у — Р) = = р(у— а). Таким образом, гомография, удовлетворяющая условиям <p(a)=oo, ф(р) = 0, ф(у) = 1, индуцируется отображением
/: К2 К2, (х, у) I-»- ((у — а) (х — ру), (у — Р) (х — ау)), и мы находим, что
г a A1 (Y — а) (6 — Р) Y — а t 6 — а /ох
[а, Р. У. 6] — (у _ р) (б _ о) у — Р ’ S — р ‘ О
Случай, когда одна из точек бесконечно удаленная, трактуется просто; например, Да, р, у, оо] = (у —.
8. ТОМОГРАФИЯ ПРЯМбй. ДВОЙНОЕ ОТНОПИЙИЙ 153
~а)/(у — Р)- Заметим, что [а, Р, у, 6] изменяется на противоположное при перестановке аир или у и б и сохраняется, если поменять (а, Р) с (7,6).
Случай аффинной прямой
Пусть ^ — аффинная прямая над полем К\ аффинная параметризация К-+2), / (1 —/) Л +/Б,
продолжается в гомографию, если положить
Ф (оо) = 2)^, где 2)^ — бесконечно удаленная точка прямой 2). Таким образом, если С = (1 — и)А + иВ и Б = (1 — и) Л + иБ — две точки 2), то [Л, Б, С, Б] ?—
= [0, 1, и, V] «= • ~~р» и> Допуская вольность в
обозначениях1), получаем
[А, В, С, ?>] = -^-:^А
св ?>В
с!
и, в частности, [Л, Б, С, ^оо] = “ту.
СВ
Интерпретация гармонических четверок
Предложение 8.3. Для того чтобы четыре точки Л, Б, С, Б проективной прямой над полем К с различными Л, Б, С образовали гармоническую четверку, необходимо и достаточно, чтобы [Л, Б, С, Б] =
Доказательство. По определению двойного отношения достаточно проверить, что четверка (оо, 0, 1,6), где бе/С, гармоническая тогда и только тогда, когда б = —1.
Этот результат сохраняет силу и в случае, когда характеристика К равна 2.
Двойное отношение четырех прямых, проходящих «лерез одну точку (коммутативный случай)
Из предложений 4.3 и 8.2 немедленно выводится
*) Напомним, что деление векторов лишено смысла, если они не коллинеарны.
164 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
? Предложение 8.4. Если Д^ Д2, Д3, Д4-—четыре прямые проективной плоскости над полем, проходящие через одну точку, то двойное отношение четвер** ки точек их пересечения с любой прямой Д, не проходящей через их общую точку, не зависит от выбора прямой Д.
9. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ.
ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ
Пусть 3 — аффинная плоскость над произвольным телом /(, снабженная аффинным репером (Л, В, С), и 3 = = Р(?), где (Ит? = 3, — ее проектив-
ное пополнение. В § 4 мы видели, что в Е существует базис (еі,е2,е3), такой, что однородные координаты в 3 в этом базисе являются продолжениями барицентрических однородных координат плоскости 3 в репере (Л, В, С). В частности, бесконечно удаленная прямая Зоо плоскости 3 в этом базисе есть прямая х + у + г = 0 в#.
Обратно, если Р (Е) — проективная плоскость и (ви е2і вз)—базис ?, то мы сводим дело к предыдущему случаю, отправляя в бесконечность проективную прямую Д с уравнением х + г/+-г = 0 в этом базисе и выбирая в качестве аффинного репера в Р(?)\Д репер (А = р (Єї), В = р (е2), с = р (е3)).
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed