Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 36

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 95 >> Следующая

c) если б е Жоо и б ф Жооу то / (б) есть точка пересечения Ж' с прямой, проходящей через О с направо лением б.
б) если б е Жх> п то / (б) = б.
Эти условия проясняются, если рассмотреть соответствие, устанавливаемое проектированием с центром О между прямыми плоскостей Ж и Ж: если 3>— прямая в Ж с направлением б и плоскость (О, 3) не параллельна Ж\ то ей соответствует прямая 3)' — пересечение плоскостей (0,3)) и Ж'\ тогда
3)' имеет направление б или проходит через точку /(б) в зависимости от того, параллельна ли 3 плоскости Ж.
? Универсальная процедура для превращения цент-ральных проекций гиперплоскостей в биекции состоит, таким образом, в присоединении к каждой аффинной гиперплоскости Ж пространства & множества направлений ее прямых1)] для каждой пары (Ж, Ж') аффинных гиперплоскостей в Ж и любой точки О в ё\(Ж\]Ж') биекция /, определенная правилами а)—б), называется проекцией или перспективой с центром О расширенной гиперплоскости Ж\]Жоо на Ж'\]Ж'оо. Эти условия применимы и тогда, когда Ж и Ж параллельны (при этом возможны лишь случаи а) и б).
В действительности биекция строится с помощью множества прямых, проходящих через О. Для даль-
*) Удобно называть 2ё[}2@оо расширенной гиперплоскостью.— Прим. перев.
2. ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА 123
^ейшего важно выяснить роль этого посредника. Сформулируем
Предложение 1.1. Для любой аффинной гиперплоскости Ж пространства & и любой точки 0^.8\Ж существует естественная биекция \н расширенной гиперплоскости Ж\]Ж<х> на множество аффинных прямых, проходящих через О: каждой точке М^Ж соответствует прямая (ОМ) и любому элементу 8е е Жоо соответствует прямая, проходящая через О, с направлением б.
Если Ж, Ж' — две аффинные гиперплоскости в <?\ не проходящие через О, то проекция Ж и Ж» из центра О на Ж' \]Ж'^ есть биекция / = /”,1о
Предложение 1.1 привлекает наше внимание к изучению множества аффинных прямых, проходящих через фиксированную точку 0^<?\ снабжая & векторной структурой путем выбора точки О за начало, мы приходим к изучению векторных прямых векторного пространства Е. Это изучение и составит предмет проективной геометрии, к которой мы теперь приступаем.
2. ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Обозначим через Е левое1) векторное пространство над произвольным телом К, не сводящееся к {0}. После всего сказанного мы могли бы ввести соответствующее проективное пространство как множество всех векторных прямых Е. Но легко заметить, что векторные прямые Е с исключенным началом образуют разбиение множества ?* = ?\ {0} 2) на классы эквивалентности по очевидному отношению эквивалентности на ?*: две точки х, //е?# принадлежат одной и той же векторной прямой тогда и только тогда,
*) Аналогично определяется проективное пространство и в случае правого векторного пространства (см. § 5).
2) Всюду, где Е обозначает векторное пространство, ?* обозначает множество ?\{0} (обозначение Е* сохраняется для сопряженного пространства к Е). Для тела мы сохраняем обозначение К* = /С\{0}.
124 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ проективной геометрии
когда существует скаляр X (непременно отличный от нуля!), такой, что у = Хх. Так мы приходим к следующему алгебраическому определению:
? Определение 2.1. Проективное пространство Р(Я) левого векторного пространства Е над К есть фактор-пространство множества ненулевых векторов ?* = = ?\{0} по отношению эквивалентности 52, задаваемому условием
уМх<=$- (ЗХ е К*) у — Хх. (1)
Обозначим через р: Е*-*Р(Е) каноническую проекцию; класс р(х) (х<=Е*) можно обозначать <х>.
Отметим также, что в случае сПт?' = 1 пространство Р (Е) сводится к одной точке.
В случае произвольной конечной размерности п пространству Р(?) приписывается размерность п— 1; это условие получает в дальнейшем оправдание (§ 4); в частности, если Е имеет размерность 2 (соотв. 3), то мы называем Р (Е) проективной прямой (соотв. проективной плоскостью).
Проективные подпространства
? Определение 2.2. Подмножество ? с Р (Е) называется проективным подпространством в Р{Е), если /Н(?)и{0} есть векторное подпространство в Е.
В частности, всякая точка МеР (Е) является нульмерным проективным подпространством в Р(Я) (так как р-1 (Л1) и {0} есть векторная прямая в Е). Аналогично, пустое подмножество в Р(?) можно рассматривать как его проективное подпространство размерности — 1. Не считая этого случая, простейшими подпространствами являются проективные прямые (когда р~1 (/.) и {0} имеет размерность 2) и проективные гиперплоскости (когда /^(/^{О} есть векторная гиперплоскость в Е).
Проективные прямые будут изучены в § 6. Теперь же заметим, что через две различные точки Р(?) проходит единственная проективная прямая (потому что две различные векторные прямые Е порождают векторную плоскость). Немедленно получаем
2. ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА 125
Предложение 2.1. Если V — векторное подпространство в Е, то p(V*) является проективным подпространством в Р(?); мы говорим, что оно индуцировано V.
В самом деле, V есть объединение векторных прямых, и потому К*=К\{0} состоит из классов эквивалентности по отношению (1) и р~1{рК*)=К*.
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed