Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
1) Важно иметь в виду, что в алгебраической теории векторных пространств рассматриваются только конечные линейные комбинации.
48 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
В частности, векторное пространство, порожденное этим семейством, будет обозначаться Уес^Х).
Если множество X состоит из одного элемента а, то векторное пространство Уес^Х) обозначается Да или аД, смотря по тому, является ли Е левым или правым векторным пространством над Д, и называется векторной прямой, порожденной вектором а1).
? Наконец, понятия суммы, прямой суммы ВПП и дополнительного ВПП немедленно распространяются на случай пространств над телами (см. упр. II. 3 и 11.6).
Теорема о замене
В § 3 мы покажем, что теория размерности тоже без затруднений распространяется на левые (или правые) векторные пространства над телами. Вначале мы установим во всей общности следующий основной результат:
? Теорема 2.1. Пусть Е — левое (или правое) векторное пространство над телом Д, О — подмножество образующих и А = {аь ..., ар} — свободное конечное подмножество в Е.
Тогда в (3 найдется р попарно различных элементов Ьь Ь2, ..., Ьр, таких, что А и (<3\{&ь 62, •.., Ьр}] будет подмножеством образующих для Е2).
Другими словами: можно заменить в (3 элементы Ь\у ..., Ьр элементами аь ..., ар, так что <3 сохранит свойство быть подмножеством образующих в Е — отсюда и название «теорема о замене».
Доказательство. Не нарушая общности, предположим, что Е — левое векторное пространство.
Положив Ак = {аи а2, ак} для каждого
&е{ 1,2, ..., р}, заметим, что Ак есть свободное подмножество в Е (так как Ак содержится в А), и проведем индукцию по &; именно, установим, что для любого к е {1, 2, ..., р) в (3 существует подмножество Вк ~{Ьи Ь2, Ьк) мощности &, такое,
*) Разумеется, при а ф 0. — Прим. перев.
2) Напомним здесь, что б \В обозначает множество, состоящее из элементов б, не входящих в В.
» ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТЕЛОМ 4д
что = Ак\]{0\Вк) является подмножеством образующих для Е.
a) При &=1 утверждение верно; в самом деле, а\ Ф 0, так как А свободное. Так как (7 — множество
т
образующих, можно записать ах = X Х^?, где ...
Ет — различные элементы (7. Так как не все ^ равны нулю, положим К/ ф 0 и введем обозначения Я = X/, Ьх = ?/. Тогда
Ь1 = Х~1а1 — 2
I ?* I
Это показывает, что &1 принадлежит векторному пространству, порожденному 01 = {ах} Щ<7\{&!}); итак, всякая линейная комбинация элементов О есть линейная комбинация элементов из (7\{&1} и а\. Иными словами, 0\ есть множество образующих для Е.
b) Предположим, что утверждение верно до неко< торого к <. р. Поскольку Ьк = Ак\] (в\Вк) — множество образующих, можно положить
т к
= Е + Е Игап
<=1 Г=1
где ?ь ?т — различные элементы из 0\Вк; так как А — свободное подмножество, то найдется
хотя бы один индекс /^{1..............т), такой, что
Яу Ф 0. Полагая Я=»Я/, ЬА+1=и ВА+1 = 5*и
и {*й+1> = {^>1 ьк, Ьк+,}, найдем, что вектор
А
6^ + 1 “Я ^ + 1 2 ^
* 9й* / Г-1
принадлежит векторному пространству, порожденному множеством
= {^+1} и (0^ \ {^+1}) — А^+х и (б \ В^+х)9
и так как по предположению индукции Ок есть множество образующих, то и йк+\ — множество образующих Е. Итак, утверждение верно при любом целом к <р. ?
50 ГЛ. И. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
? Следствие. Если Е допускает свободное р-элел ментное подмножество Л, то всякое множество обра-4 зующих Е содержит не менее р элементов.
Пример. Векторное пространство многочленов над К. Пусть К[Х] — множество формальных многочленов над произвольным телом К. На К[Х] определяется структура левого векторного пространства над К9 если положить для любых двух многочленов = 2 akXk и Q = 2 bkXk и любого Я е Д
P + Q=Z(ak + bk)Xk,
Семейство является тогда базисом простран-
ства К[Х].
3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
^ Теорема 3.1 (о размерности). Пусть Е — левое (или правое) векторное пространство над телом /С, долу«* скающее конечный базис В мощности п. Тогда
Всякое свободное подмножество в Е имеет не более п элементов.
Всякое подмножество образующих Е содержит не менее п элементов.
Следовательно, всякий базис Е состоит из п элементов.
Доказательство, а) Если L — свободное подмножество ?, то, как показывает следствие из теоремы 2.1, всякая конечная часть L состоит не более чем из п элементов (поскольку базис В является подмножеством образующих мощности п)\ следовательно, L — конечное множество мощности ^ п.
Ь) Если G — множество образующих ?, мы можем применить то же самое следствие при Л=В и убедиться, что card(G) ^ п. Отсюда вытекает и последнее утверждение.
Тем самым мы обосновали корректность следующего определения:
? Определение 3.1. Векторное пространство называется конечномерным (соотв, размерности п\, если
3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 51
оно допускает конечный базис (соотв. базис мощности п).
Последующие предложения являются приложениями теоремы о замене 2.1.
Предложения 3.2. Для того чтобы векторное пространство Е было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы оно допускало конечное подмножество образующих <3; это подмножество образующих содержит базис.
