Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 16

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 95 >> Следующая

(\/(х,у)е=Е1ХЕ{) /(* + у) = /М+Ш
и существует такой изоморфизм 0 тела К\ на тело /С2, что
(V (Я, х) €= К{ X Е{) / (Ях) = 0 (Я) / (х).
Термин линейное отображение приберегается для случая, когда К\ = К2 и 0 — тождественное отображение. В частности, изоморфизм есть биективное линейное отображение; эндоморфизм (соотв. автомор-физм) векторного пространства Е есть линейное отображение Е в себя (соотв. изоморфизм Е на себя).
Автоморфизмы векторного пространства Е образуют группу, называемую линейной группой Е и обозначаемую ОЬ(?).
Более общо, полулинейные биекции векторного пространства Е на себя образуют группу, обозначаемую 05Ь(?), для которой ОБ(?) является инвариантной подгруппой.
Примеры. 1) Если Е — векторное пространство над полем характеристики ф2, то можно показать (см. упр. II. 3), что единственные инволютивные автоморфизмы Е суть векторные симметрии1). Но МОГуТ) существовать инволютивные полулинейные отображен ния Е на ?, не являющиеся линейными. Например^ если ?=,СД то полулинейное отображение /: ЮУ1—.С% (21 .2„)ь->(г1, ..., г„), ассоциированное с автоморфизмом 2Ь->2 ПОЛЯ С:, ИНВОЛЮТИВНО.
2) Если Е — левое векторное пространство над К9 то векторная гомотетия къ\ Е->Е, х ?х (& е К*) есть полулинейное отображение, ассоциированное с
!) По поводу случая характеристики 2 см. упр, 11,4,
4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 55
внутренним автоморфизмом 8*: К ->К, Я
? Таким образом, 1гк линейно, только если к принадлежит центру К\ тогда гомотетия становится автоморфизмом Е.
Легко показать, что векторные гомотетии образуют инвариантную подгруппу группы ОЭ^Я).
С другой стороны, центр группы ОБ (Я) образован векторными гомотетиями А*, коэффициент к которых принадлежит центру К (см. упр. II. 15 и II. 16).
Свойства. Среди классических свойств линейных отображений есть такие, которые легко распространяются на линейные или даже всего лишь полулинейные отображения над произвольным телом, но есть и такие, которые теряют силу в случае некоммутативного тела.
Мы начнем с изучения общих свойств, не зависящих от размерности; случай конечномерных пространств рассматривается в § 5.
? Предложение 4.1. Пусть I: Я-*-Я—полулинейное отображение, X — ВПП Е и У—ВПП Я. Тогда /(X) является ВПП Я и /-1 (У)— ВПП Е.
В частности, 1т 1=1(Е) есть ВПП Я, называемое образом /, а Кег / = /-1 (0)—ВПП Я, называемое ядром /; ядро сводится к {0} тогда и только тогда, когда / инъективно.
Доказательство очевидно.
Заметим, что, напротив, задача о собственных значениях и собственных векторах в случае некоммутативного тела выглядит совершенно по-другому.
? Предложение 4.2. Пусть Я, Я — два векторных пространства над одним и тем же телом К, а Яь Е2 — два ВПП пространства Я, такие, что Я = Я1®Я21). Если /ь Е\ —>-Я и (2: Е2-+Е — два линейных отображения, то существует единственное линейное отобра-
Ч Напомним, что 0 есть знак прямой суммы. Прим. перев.
56 ГЛ II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
жение ограничение которого на каждое из
подпространств Е1 (*' = 1, 2) равно /».
Доказательство. Пусть /—биекция
?1X^2^ Е, (хи х2)*-> х1 + х2.
Тогда единственное отображение /, удовлетворяющее выдвинутым требованиям, определяется условием
/ ° / (*1> *2) = /1 (*1) + и (х2).
Таким образом, линейное отображение Е в Р однозначно определено своими ограничениями на два дополнительных ВПП Еь Е2 пространства Е.
Факторпространство. Каноническое разложение полулинейного отображения
^ Теорема 4.3. Пусть Е — левое векторное пространство над К, X — его векторное подпространство и Е/Х — факторгруппа группы (?,+) по подгруппе X. Тогда Е/Х допускает единственную структуру левого векторного пространства над /С, такую, что каноническая проекция р: Е-+Е/Х есть линейное отображение.
Более того, если У дополнительно к X, то ограничение р на У есть изоморфизм У на Е/Х.
Доказательство, а) По определению, для любого а^Е класс р(а) есть множество векторов вида а + где х пробегает Ху и, как легко проверить, для
класс р(Яа) зависит только от Я и р(а). Та-
ким образом, Е/Х наделяется структурой левого векторного пространства, совместимой с классической групповой структурой, если положить р(а)-\- р(Ь) = = р(а + Ь) и Хр(а) — р(Ха). Это единственная структура, относительно которой проекция р линейна,
Ь) Если Е = X ® У, то каждый класс р(а) имеет
с У единственный общий элемент (компоненту а в
У); поэтому ограничение р на У биективно. ?
? Теорема 4.4. Каждое полулинейное отображение /: Е-+Р имеет разложение f = g<>py где р: ?-*• ^?/Кег/—каноническая проекция, а g: Е/Кег/-*-
4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 57
—полулинейное инъективное отображение, ассоциированное с тем же изоморфизмом 0 тела, что и /.
Доказательство. Если (ауЬ)^Е2у то /(а) =/(6) равносильно Ь — а е Кег и потому р(а) — р(Ь). Следовательно, существует инъективное отображение g: ?уКег/->/% такое, что } = g ° р. Далее, поскольку р линейно и / полулинейно, для любых а, 6е? имеем
8 (Р (а) + Р Ф)) = д (р (а + Ь)) = / (а + Ь) = / (а) + / (6) = = ? (Р (а)) + ? (/> (*)),
и для каждого элемента Я основного тела пространства Е
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed