Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
8 № (а)) = 8 (Р (Ьа)) = / (Яа) = 0 (Я) / (а) = 0 (Я) ^ (р (а)).
Итак, ? полулинейно и ассоциировано с 0. ? Применение базисов
^ Теорема 4.5. Пусть Еу Г — два левых векторных пространства над телами /С, К' и В —(е1)1^1— индексированный базис Е. Тогда
a) Для любого семейства элементов Е, индексированного тем же множеством /, существует единственное полулинейное отображение /: ?->Е, ассоциированное с заданным изоморфизмом 0: К-+К' И удовлетворяющее условиям /(?/)= а,- при всех I <= /.
b) Для того чтобы / было инъективным (соотв. сюръективным), необходимо и достаточно, чтобы семейство (яД*е/ было свободным (соотв. семейством образующих).
Следовательно, для того чтобы / было биективным, необходимо и достаточно, чтобы образ при отображении / какого-либо базиса Е был базисом Е, и тогда то же самое имеет место для всякого базиса.
Доказательство, а) Отображение определяемое равенством / ("Л х1еЛ= ? Для любого ко-
\/ ее / ) ^ е/
58 ГЛ. ІТ. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
нечного /с=/, является единственным отображением, удовлетворяющим поставленным требованиям.
Отсюда легко получается утверждение Ь).
Пространство линейных или полулинейных отобра-жений
Легко видеть, что композиция линейных (соотв. полулинейных) отображений линейна (соотв. полулинейна).
Сумма двух линейных отображений /*•: (/=
= I, 2), очевидно, линейна. Напротив, сумма двух полулинейных отображений полулинейна только в том случае, когда оба этих отображения ассоциированы с одним и тем же изоморфизмом тел.
Наконец, пусть Я, Я — два левых векторных пространства над телами /С, К' и Я -> Я— полулинейное отображение, ассоциированное с изоморфизмом 0: К-+К'. Для любого & е К'* отображение
g = kf: Я-*Я, **->?/(*)
полулинейно и ассоциировано с изоморфизмом
<р: К-+К',
Действительно, имеем
g (Хх) = к} (Хх) = кв (X) / (х) = /0 (X) k~lg (х).
В частности, мы можем сформулировать
? Предложение 4.6. Если Е, Е— два левых векторных пространства над телом К и / — линейное отображение Е в Е, то отображение Щ (где по-
лулинейно и ассоциировано с внутренним автоморфизмом X *—кХк~х.
Итак, й/ линейно только в случае, когда к принадлежит центру тела К. Если / = Ые, то мы возвращаемся к случаю векторных гомотетий.
Отсюда вытекает, что если К не коммутативно, то множество линейных отображений Е в Е не является векторным пространством по отношению к обычным операциям-, поэтому представляет интерес следующий частный случай;
5. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 59
^ Предложение 4.7. Пусть Е — левое векторное пространство над телом К. Тогда линейные отображения Е в К (называемые линейными формами) образуют правое векторное пространство над К со следующими законами сложения и умножения на скаляры:
(VX <= Е) (/ + g) (х) = f(x) + g (х),
(fk) (х) — f(x)k (4е К).
Проверка осуществляется непосредственно. Векторное пространство линейных форм на Е называется сопряженным с Я и обозначается Я*.
Понятно, что предложение 4.7 остается верным при перестановке слов «левый» и «правый».
Сопряженность линейных пространств будет изучена в § 6.
5. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Теорема 5.1. Пусть Я — левое конечномерное пространство над телом К. Для того чтобы левое векторное /(-пространство Я было изоморфно Я, необходимо и достаточно условие сНт(Я)= dim (Я).
В самом деле, пусть (е*)1</<л *—базис Я; если f: Я —F — изоморфизм, то (f(?*)) составляют базис Я, откуда следует, что dim (Я) = dim (Я). Обратно, если последнее равенство выполнено, то предложение 4.5 позволяет построить нужный изоморфизм.
Можно доказать также следующую теорему:
^ Теорема 5.2. Пусть Я, Я — два векторных пространства одинаковой конечной размерности п над телами /С, /(', а / — полулинейное отображение Я в Я. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
i) f инъективно,
ii) f сюръективно,
iii) f биективно.
Доказательство. Если f инъективно (соотв. сюръективно), то образ при отображении / базиса Я яв-
60 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
ляется свободным семейством (соотв. семейством образующих) мощности п, что и влечет биективность f.
Наконец, из теоремы 4.4 о каноническом разложении выводится
? Предложение 5.3. Если Е, F — два конечномерных векторных пространства и /: Е->Е— полулинейное отображение, то
dim (Im /) + dim (Ker f) = dim (E). (1)
Доказательство. Можно положить f = g^pt где g: E/Kerf-*F — полулинейное инъективное отображение. Каноническая проекция р: Е-+ E/Kerf сюръ-ективна, и потому Im f = Im g. Рассматривая g как полулинейную биекцию E/Kerf на Imf, найдем, что dim(Im f) = dim (E/Kerf).
Наконец, поскольку E/Kerf изоморфно любому подпространству, дополнительному к Кег/ (теорема 4.3), то
dim (Е) = dim (Кег /) + dim (Е/Кег /),
откуда и вытекает результат. ?
Напомним здесь, что размерность образа / называется рангом / и обозначается rg(f).
Матрица линейного отображения
Пусть Е, F — два левых векторных пространства конечных размерностей п, р над одним и тем же телом К, В = (ev ..., еп) — базис Е и В' — (е', ..., е' базис Е. В силу теоремы 4.5, задание линейного отображения f: E-+F равнозначно заданию прямоугольной таблицы скаляров (ам) 1 ^
