Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Иными словами, это множество линейных форм на Еу ядро которых содержит А. Аннулятор А можно также называть (полным) ортогональным к А пространством, так как верно
Предложение 6.3. Аннулятор А0 подмножества АаЕ есть векторное подпространство в Е* и (VectA)° = А0.
С другой стороны, если А, В — два подмножества в Е} то
(A U В)0 = А0 П В\ (А П Bf zэА° + В° (2)
и включение А а В влечет А0 и> В°.
Проверка не составляет труда.
!) Более общо, если Е — левое и Е* — правое векторные про-« странства над К, отображение Ь:Е>(Е*-*К со свойством (1) называется спариванием; по поводу этого понятия см. [AR], гл. I.
2) Термином «аннулятор» мы заменили трудно переводимый термин «l’orthogonal»; для компенсации добавлено прямое определение ортогональности элементов Е и Е*. Вообще, два подмножества АаЕ и А' а Е* можно называть вполне ортогональными:, если попарно ортогональны любые их элементы. —* Прим. перев,
б. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ, ГИПЕРПЛОСКОСТИ. ДУАЛЬНОСТЬ §5
Пример. Пусть Н — гиперплоскость в Е\ ее анну-лятор есть векторная прямая в ?*, образованная линейными формами, обращающимися в нуль на Н ^см. теорему 6.2).
Второе сопряженное пространство. По-прежнему исходим из левого векторного пространства Е над телом К. Сопряженное с ним пространство ?* есть правое векторное пространство над /С; пространство ?**, сопряженное с ?*, называется вторым сопряженным с ? и является левым векторным пространством над К. Отображение /: ?->?**, х*—>х, определяемое условием х(/) = /(х), очевидным образом, линейно; в
самом деле, (Хх) (/) = / (Хх) = X? (.х) = Хх (/).
Далее (§ 10) мы установим, применяя, правда, лемму Цорна, что это отображение / инъективно; действительно, утверждать, что / инъективно, означает утверждать, что нулевой вектор Е — это единственный вектор, удовлетворяющий условию 1(х) = 0 для всех / е ?*, что для бесконечномерного Е неочевидно.
Случай конечной размерности рассматривается в § 7.
Линейное отображение / называется каноническим вложением Е во второе сопряженное пространство ?**.
Транспонированное линейное отображение
Определение 6.3. Пусть ?, Е — два левых векторных пространства над одним и тем же телом К и ф: Е ->• Е — линейное отображение. Транспонированным к ф называется отображение *ф: Е*->?*, определенное условием
(У/еТ7, У*е=?) *ф(/) = /0ф.
Предложение 6.4, Если ф — линейное отображение, то транспонированное отображение *ф также линейно и
Кег ('ф) = (1шф)°. (3)
3 Ж. Лелон-Ферраа
66 ГЛ. И. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Доказательство. Для любой формы /є/7* и каждого к^К имеем
что и доказывает линейность *ф.
Наконец, Кег(*ф) есть множество таких /еР, что /оф(лг)=0 для всех х^Е\ иными словами, Кег('ф) есть множество таких /еР, которые равны нулю на Ф (?) = 1т ф, откуда (3) следует по определению ан-нулятора. ?
Разумеется, все результаты этого параграфа сохраняют силу при перестановке слов «левый» и «правый».
7. ДУАЛЬНОСТЬ В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Если Е конечномерно, то результаты предыдущего параграфа могут быть усилены.
Теорема 7.1. Пусть Е — векторное пространство конечной размерности п\ тогда и сопряженное пространство Е* имеет ту же размерность п\ если В = {в1)х<1^п — базис Е, то п координатных форм составляют базис ?*, называемый дуальным базисом к В.
Доказательство. Если Е — левое векторное пространство, то всякая линейная форма на нем единственным образом записывается в виде
Таким образом, п координатных форм хь—>Хі составляют базис в ?*; координатами / в этом базисе являются скаляры }і = / (е/). ?
*Ф (ДО (*) = / (Ф (*)) 6 или *ф Цк) = (*ф (/)) ? и, с другой стороны,
(У(/. в)<=ЕГХЕГ)
*ф (/ + г) = / ° ф + и * ф = 'ф (/) + *ф (г),
7. ДУАЛЬНОСТЬ В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
67
Следствие. Если Е— конечномерное векторное пространство, то отображение у: Е-+Е**, опре-
деляемое условием
(У/е=Г) *(/) = /(*),
является изоморфизмом, что позволяет отождествить ? и его второе сопряженное пространство ?**.
Доказательство. ?** имеет ту же размерность я, что ?* и ?. Поскольку у линейно, достаточно доказать его инъективность, что делается элементарно: если х — элемент ?, такой, что х = 0, то х(/) = 0 для всех / е Е* и, в частности, для каждой координатной формы XI в некотором базисе В пространства Е. Имея нулевые координаты, вектор х равен нулю: х = 0. ?
Важное замечание. Если Е — левое (соотв. правое) векторное пространство, то Е* является правым (соотв. левым) векторным пространством. Поэтому не существует изоморфизма Е на ?*, кроме случая, когда К — поле. Но даже в этом случае не существует канонического изоморфизма Е на ?* (т. е. изоморфизма, однозначно определенного самой векторной структурой, независимо, например, от выбора базиса в Е). Мы увидим ниже (§ 8), что в случае, когда К — поле, задание изоморфизма Е на Е* равносильно заданию на Е невырожденной билинейной формы.
Соответствие между векторными подпространствами в Е и Е*
Каждому ВПП X в Е отвечает ВПП Х° в ?*, ортогональное к X. Уточним характер этого соответствия.
^ Теорема 7.2. Пусть Е — векторное пространство размерности п. Если X — его ВПП размерности р (О^р^п), то ортогональное к нему ВПП Х° в ?* имеет размерность п — р. Если отождествить Е с его вторым сопряженным пространством с помощью канонического изоморфизма у, то (X0)0 = X.
