Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 25

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 95 >> Следующая

Доказательство. Соотношение ф(^', a) = (p(g, а) равносильно ф^""1^', а) = а и, значит, g~lg' ^Ga или Р (g') = Р (ёУ> следовательно, отображение фа: G->X, g-н->ф(^, а) переносится на фактормножество и представляется в виде фа = /аор, где fa: G/Ga~> X — биекция. ?
Специальный случай
Если группа G действует на X просто транзитивно, то группы изотропии Ga тривиальны; для каждой точки а е X отображение фа: G-+X, ?>—>ф(?, а) является биекцией, удовлетворяющей условию фа(е)=а.
? Эта биекция фа позволяет перенести на X структуру группы G, которая, однако, будет зависеть от выбора точки а, т. е. образа нейтрального элемента. Говоря нестрого, X допускает структуру группы, изоморфной G, при произвольном выборе нейтрального элемента.
Так и будет обстоять дело в случае «аффинной структуры».
2. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
? Определение 2.1. Пусть Е — векторное пространство над произвольным телом К. Аффинным про-странством, ассоциированным с Еу называется множество <8, на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы (?,+). Это действие записывается обычно в виде
Е <8 —> <2?, (и, х) і—5* х ~Г и*
2. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
85
Для любого и^Е биекция Хи\ <$->($ у ХН->Х + Ц называется трансляцией на вектор и\ далее, для каждой пары а, Ъ элементов $ единственный вектор и, такой, что Ь = хи{а), обозначается аЬ.
В дальнейшем, по соображениям типографского характера, мы будем избегать употребления стрелок для обозначения векторов. Чтобы отличать элементы ё> (называемые точками) от элементов Е (называемых векторами) у мы будем преимущественно обозначать «точки» прописными буквами латинского алфавита, такими, как Л, В, М, ..., а «векторы» — строчными, например а, и, V, ... ; греческие буквы предназначаются для «скаляров».
Можно привести два равносильных данному опре* делению 2.1 обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.
Определение 2.2. Аффинным пространствоМу ассоциированным с Еу называется множество <?Г, снабженное семейством биекций (т„)ие_?, таких, что
a) т0? = И* и {у(иу с)(=ЕХЕ) ЪиОХъ^Хи+ъ,
b) для любой пары (Л,В)е<^Х<^ существует единственный вектор «е?, такой, что В = хи(А).
Определение 2.3. Аффинным пространствому ассоциированным с Еу называется множество & у снабженное отображением 8 Х& ->Еу обозначаемым (Л, В)
АВу таким, что
a) для каждого Ле!’ отображение & ->?,
М ь-> АМ биективно\
b) для любых точек Л, Ву С из 3* выполнено соотношение Шаля
АС = АВ + ВС.
, Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки Ле^ мы имеем АА — 0Е.
От определения 2.3 к определению 2.2 можно перейти, обозначив через тм(Л) единственную точку В9
такую, что АВ — и, и заметив, что соотношение Шаля
86 гл. ИГ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
равносильно = ти+^. Переход от определения 2.2
к определению 2.1 непосредственно ясен.
Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки /4е^ отображение /л: Е-+Ж, и А + и = %и (А) есть биекция; эта биекция позволяет перенести на Ж) векторную структуру Е.
? Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на Ж будет называться векторной структурой с началом А\ множество Ж с этой структурой будет обозначаться Жл.
Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства Ж— это те свойства векторного пространства гг л, которые не зависят от выбора точки А.
Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе «внутреннего» исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяющая яснее представить именно аффинные свойства Ж. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.
Размерность аффинного пространства
Пусть Ж— аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е. По определению, размерность Ж равна размерности Е.
В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности 0, ассоциированную с нулевым векторным пространством.
3. АФФИННЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА (ЛИНЕЙНЫЕ АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ)
Пусть Ж — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е. Каждое векторное подпространство V пространства Е образует подгруп-
3. ЛИНЕЙНЫЕ АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
87
пу группы (?,-{-)> действующую на & трансляциями. По определению, орбиты действия V на ё называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением V. Группа (Г,+), действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит, определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с Г; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в §.
Если Т есть ЛАМ с направляющим подпространством V и А — точка Ту то Т допускает структуру векторного пространства с началом А и Та есть векторное подпространство в ЖА (см. § 2). Обратно, любое ВПП пространства <§ А есть ЛАМ, проходящее через А; сформулируем
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed