Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, можно доказать, что поле С допускает бесконечное множество автоморфизмов, отличных от тождественного и от автоморфизма сопряжения (см. 1В01], упр. 1 в § V. 6 и упр. 2 в § VI. 9); однако среди них нет ни одного, сохраняющего подполе Р или непрерывного в обычной ТОПОЛОГИИ С.
Эти примеры показывают разнообразие возможных ситуаций.
2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТЕЛОМ 45
Задача описания всех конечных полей
Прежде всего в [АИ], гл. I, и в [Ы7 — АИ], т. 1, упр. IV. 20, можно найти доказательства следующей знаменитой теоремы:
? Теорема Веддерберна. Всякое конечное тело коммутативно.
С другой стороны, можно доказать, что характеристика р конечного поля отлична от нуля и что порядок такого поля (т. е. число его элементов) имеет вид ра, где йеЫ* (см. упр. I. 14).
Существование конечного поля характеристики р и порядка ра следует из теории Галуа (см. [МЬ — В1], т. 2, гл. XVII; примеры есть в упр. I. 15—I. 18). Отметим еще, что два конечных поля одной и той же характеристики и одинакового порядка изоморфны1),
Упорядоченные тела
Общая проблема упорядоченных тел рассматривается в книге [АН], гл. I2). Там можно найти принадлежащий Гильберту пример некоммутативного упорядоченного тела.
Напротив, некоммутативного упорядоченного тела, удовлетворяющего аксиоме Архимеда, не существует (см. упр. I. 10).
2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТЕЛОМ
? Определение 2.1. Пусть К— какое-либо тело, не обязательно коммутативное. Левым векторным про-странством над К называется абелева группа (?, +)> снабженная внешним законом композиции КУ^Е-+Е, (Я, х)н->Ял:, таким, что3)
*) Очевидно, что равенство характеристик вытекает из равенства порядков. — Прим. перев.
2) Там же (гл. I, § 9 русского издания) дано и определение упорядоченного тела в общем случае. — Прим. перев.
3) Во избежание недоразумений элементы К (называемые скалярами) по большей части обозначаются греческими буквами, а элементы Е (называемые векторами)—латинскими. В виде исключения нуль тела К и нуль векторного пространства Е будут обозначаться одинаково как 0,
*46 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
1) (ух е?) 1 • х — х,
и) (V (К X, у) е= К X Е х Е) Я (х + у) = %х + Ц,
III) (V (К х) <= К X К X Е) (Я + ц) х = Яд: + ру,
IV) (V (Я, ц, а:) е /С X К X ?) ^ (Р-х) = (Яц) х.
Эти условия влекут Я-0 = 0 для всех Яе/С и 0«
- х = 0 для всех
^ Точно так же правое векторное пространство над К есть абелева группа (Е, +). снабженная внешним законом композиции Е X К-*- Е, (х, Я) н-хЯ, таким, что
1) X * \ ~~ X
10 (V (Я, х, у) е= Я X Е х ?) (х + г/) Я = хЯ + г/Я,
Ш) (V (Я, р, х) е Я X Я X Е) х (Я + М-) = хЯ + хр,,
IV) (V х) €= /С X Я X ?) (хЯ) р = х (Яр).
Во избежание путаницы элементы из Я часто будут называться «скалярами», в то время как элементы из Е — «векторами».
Заметим, что Я имеет двойную каноническую структуру векторного пространства, левого и правого, над самим собой.
Замечания. 1) Понятно, что не возбраняется писать (Я, х)ь->Хх (где ЯеЯихе?)и для внешнего закона композиции правого векторного пространства, но тогда ш) принимает вид р(Ях)= (Яр)х; это показывает, что правое векторное пространство над Я может рассматриваться как левое над телом Я, противо-по ложным К.
Поэтому мы можем, не нарушая общности, ограничиться рассмотрением левых векторных пространств,
2) Если Я коммутативно, понятия левого и правого векторных пространств совпадают. В этом и только в этом случае произведение вектора х на скаляр Я1 можно записывать и как Ях, и как хЯ.
Обобщение привычных понятий на случай некоммутативного тела
Пусть Е — левое векторное пространство над Ял
а) Векторным подпространством (сокращенно ВПП) пространства Е называется непустое подмножество X с: Е, устойчивое по отношению к обоим зако-
2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД П Р ОН 3 вр ДкНЬЩ ДЕ Л С М »47
нам композиции, т. е. такое, что ОеХи
(V (Я, р) е К2, V (х, У) е X2) Я* + ру е= X.
Каждое ВПП пространства Е допускает очевидную структуру левого векторного пространства над К.
b) Пусть ЗГ = (х^1 е / — произвольное семейство (необязательно конечное) элементов Е.
Линейные комбинации элементов ЗГ — это элементы Е вида X) Я/Х/, где / — некоторое конечное М не-/€=/
пустое подмножество /, а Я/ (/е/)—произвольные скаляры.
Зга линейные комбинации образуют векторное подпространство в Е\ говорят, что оно порождено семейством ЗГ, и обозначают его МесЦ#"). Семейство 5Г называется семейством образующих, если Уес1(^") = = Е, т. е. если любой элемент Е является линейной комбинацией элементов ЗГ.
c) Семейство {хд{е1 элементов Е называется зависимым, если существуют конечное подмножество /с=/ и скаляры (Яу)/еЕ/, не все равные нулю, такие, что
У! Яу^у = о,
/е/
В противном случае семейство (х*)/е/ называется свободяьш.
(1) Базисом (индексированным) пространства /: называется свободное семейство ЗГ образующих; это означает, что каждый элемент из Е может быть единственным образом представлен как линейная комбинация элементов ЗГ.
е) Понятие свободного подмножества (соотв. подмножества образующих) в Е сводится к понятию свободного семейства (соотв. семейства образующих) в ?; в самом деле, подмножество X можно отождествить с семейством (ха)а^ХУ индексированным элементами из X, так что ха = а для всех ае!
