Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть (еь)х — базис ?, полученный пополнением базиса подпростран-
68 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
ства X. Тогда / е Х° в том и только том случае, если
/(^) = /Ы= ... =/(*Р) = 0;
таким образом, Х° есть множество линейных отображений Е в К вида
л л
X = Z *-*• Z *///»
i_i /=р+1
где /р+,...../„ — элементы /с.
Иначе говоря, п — р координатных форм хр4.и ... ..., хп образуют базис Х° (аннулятора X).
Такие же рассуждения показывают, что (еь ..ер) образуют базис в (Z°)°> т* е. (Jf°)° = A’.
Следствие. 1) Отображение X н-> Х° есть биекция множества ВПП в Е на множество ВПП в Е*.
2) Если Л — любое подмножество в Е и Е отождествлено со своим вторым сопряженным, ТО (Л°)°=3 = Vect (Л).
Приложения
? Предложение 7.3. Если X есть ВПП размерности р пространства Е и р < п = dim(?'), то существует система из я — р линейных форм /1, ..., fn-Pi таких, что
x^X<^fl(x) = f2{x)= ... =/„_„(*) = 0, (1)
и каждая линейная форма f^E*t обращающаяся в нуль на X, является линейной комбинацией форм
fit • • • » /л—р*
Доказательство. Соотношение {1) показывает, что X—множество векторов, ортогональных к подмножеству Л = {/ь ..., /л_р} элементов ?*, или X = Л°, это равносильно X = (VecM)° или Х° = Уес1(Л). Условие (1) выполняется, таким образом, тогда и только тогда, когда Л — множество образующих для Х°, т. е. базис Х° (так как dim(X°) = n — р). Отсюда и следует наше утверждение. ?
? Напомним, что линейные формы на Е называются независимыми, если они образуют свободное подмножество в Е*. Предложение 7.3 показывает, что если
7. ДУАЛЬНОСТЬ В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ 69
dim Е = п, то каждое ВПП в Е размерности р может быть задано системой п — р независимых линейных уравнений в декартовых координатах.
Если рассматривать необязательно независимые линейные формы, то справедливо
? Предложение 7.4. Если /, f1, fq— линейные формы на ?, причем из q соотношений fl(x) = Oy ...
fq{x) = 0 вытекает f{x) = 0, то f является линейной комбинацией форм /ь ..., fq.
Доказательство. Положим Y = Vect(fu ..., fq) и обозначим через /° подпространство, ортогональное к {/}. Высказанное предположение может быть выражено в виде У0 с=/0, откуда (/°)° cz (У0)0 или Vect(f)cz сУ и [еУ, что и дает требуемый результат. ?
? Следствие. Пусть Яь ..., Ня — векторные гиперплоскости с уравнениями соответственно f 1 = 0, ... ..., fq = 0. Тогда векторные гиперплоскости, содержащие Я1ПЯ2П ••• П HQ) — это те, которые могут быть
<7
заданы уравнениями вида ? Kft — 0-
i = 1
(Это геометрическая формулировка предыдущего результата.)
Предложения 7.3 и 7.4 лежат в основе теории неопределенных множителей, которая встречается в механике и вариационном исчислении.
Ранг транспонированного отображения
^ Теорема 7.5. Пусть ?, F — два левых векторных пространства над одним и тем же телом К и <р: ?->* — линейное отображение. Тогда ранг транспонированного отображения : F*-*E* равен рангу <р.
Доказательство. Применив предложения 5.3 и 6.4, получим: rg (*ф) + dim Кег (*<р) = dim {F*) и Кег(*ф) = = (1шф)°; с другой стороны, dim(Im^)° = dim(/,)~ — dim (1т ф), и в силу dim (F) = dim (F*) имеем
rg (*ф) = dim (F) — dim (Im ф)° = dim (Im ф) = rg ф. П
Матричная интерпретация. Пусть отображение ф определено своей матрицей А =
70 ГЛ. I Г. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
в базисах В = пространства Е и В' =
~ (е'ь)\<к<р пРостРанства Р' Тогда (см. § 5)
(п \ р п
Т,1х1е{)=Е1уке'к, где ул=Ех,ак1.
Образ 6-й координатной формы ук на Е при отображении есть, таким образом, форма /*,:
П
х н-э- ? (1 <6<р). Образ при отображении 'ф
1 = 1
базиса, дуального к В\ есть (/ь {р), и матрица 'ф
в дуальных базисах к В' и В образована коэффи-; циентами форм /*. Это есть, таким образом, транспо** нированная матрица к А, т. е. полученная из А перестановкой строк и столбцов.
С учетом теоремы 7.5 мы получили следующий важный результат:
? Предложение 7.6. Ранг матрицы не изменяется при ее транспонировании.
8. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НА ЕГО СОПРЯЖЕННОЕ (КОММУТАТИВНЫЙ СЛУЧАЙ, КОНЕЧНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ)
На протяжении всего этого параграфа Е обозначает конечномерное векторное пространство над некоторым полем. Мы докажем, что существует биективное соответствие между изоморфизмами Е на Е* и невырожденными билинейными формами на Е.
Пусть / — изоморфизм Е на ?**. Для любого у^Е его образ I (у) есть линейная форма на Е. Обозначим' через В(х, у) = I(у) (х) значение функции I(у) на элементе мы получим билинейную формул
В: ЕУ^Е-+К, {х, у)ь—>В(х, у) (отображение ЕУ^Е в /С, линейное по каждому из аргументов х> у).
Если отождествить Е с его вторым сопряженным, то транспонированное отображение Ч отождествится с отображением /: Е-+Е*у таким, что (Уу^Е] Цу) — У^1, где (У/<=?*) у([) = {(у). Таким образом, для каждого х <= Е получаем (полагая / = / (х)) з * (У) (х) = У (/ (*)) = I (х) (у) — В {у, х).
8. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА1 ~
Так как по теореме 7.5 / и / одинакового ранга, то / также является изоморфизмом В на В*; равенство !/ (у) (х) = В (уу х) показывает, что билинейная форма, ассоциированная с /, есть форма *В, определяемая равенством *В (ху у) = В (уу х) и называемая транспо-нированной по отношению к В.
