Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Необходимость условия очевидна. Обратно, если условие выполнено, то мощности подмножеств образующих, содержащихся в (3, составляют непустое подмножество РсМ; обозначим через р наименьший элемент Р. Тогда существует хотя бы одно подмножество в0 образующих ?, содержащееся в б и имеющее мощность р. Если бы во не было свободным, то какой-нибудь элемент а из <30 был бы линейной комбинацией остальных, а О0\{я} было бы множеством образующих Е мощности р—1, что противоречит определению р. Значит, б0 является конечным базисом Е, содержащимся в б. ?
? Следствие. Если Е — векторное пространство размерности я, то любое подмножество образующих, содержащее п элементов, является базисом.
Предложение 3.3. Для того чтобы векторное пространство Е имело конечную размерность ^ я, необходимо и достаточно, чтобы в нем не было свободного подмножества мощности > я.
Доказательство. Необходимость этого условия вытекает из теоремы 3.1. Обратно, если оно выполнено, мощности свободных конечных подмножеств Е образуют непустое подмножество Р в М, имеющее мажоранту я. Обозначим через р наибольший элемент в Р; существует свободное подмножество Р С1 Е мощности р. Если бы Ь не было множеством образующих, в Е существовал бы элемент а, не принадлежащий Уес1:(Р), и Ь[}{а} было бы свободным подмножеством Е мощности р+ 1, что противоречит определению р. Таким образом, Ь есть базис Е и (Иш(?'| = р. ?
52 ГЛ II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Следствие. Если Е — векторное пространство конечной размерности п, то все его векторные подпространства имеют конечную размерность ^ п.
В самом деле, каждое свободное подмножество Ь ВПП X а Е есть также и свободное подмножество в Е. Поэтому card(L) и dim(X) ^ п.
Теорема о дополнении до базиса
? Теорема 3.4. Если Е — конечномерное векторное пространство и L — свободное подмножество в ?, то существует базис ?, содержащий L.
Доказательство. Применим теорему о замене (теорему 2.1) с Л = 1 и некоторым базисом Е в качестве G. Если L— {аи ..., ар}, то можно упорядочить G в конечную последовательность (Ьи Ьъ с так, чтобы В = {аи ар, Ьр+и ..., Ьп}
было множеством образующих Е. Так как card(fi) = = /z = dim(?), то В является базисом Е (следствие из предложения 3.2). ?
^ Следствие 1.Если Е — векторное пространство конечной размерности п, то каждое его свободное подмножество, состоящее из п элементов, является базисом.
? Следствие 2. Если Е — векторное пространство конечной размерности и X — его ВПП той же размерности, то X = Е.
Действительно, каждый базис В подпространства X является свободным подмножеством, число элементов которого равно размерности ?, и потому Е = = Vect (В) = X.
^ Теорема 3.5. Если Е — конечномерное векторное пространство, то каждое его ВПП X допускает по меньшей мере одно дополнительное подпростран-ство !).
*) Дополнительными подпространствами в Е называются такие подпространства X, У, что любой элемент г^Е единственным образом представляется в виде г = х + у, где хеХ, у е У. —? Прим. перев.
4 ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 53
Доказательство. Результат тривиален в случаях X = {0} и Х = Е, которые мы исключим из рассмотрения. Пусть А — базис X и В — базис ?, содержащий А. Тогда каждый элемент из Е единственным образом представляется как сумма линейной комбинации элементов А и линейной комбинации элементов 2?\Л; иными словами, X = Уес^Л) и У = Уес! (Б\/4 )] суть два дополнительных друг к другу ВПП (см. упр. II. 3). ?
Заметим, что если X, У — два дополнительных ВПП в ?, то сНт(?) = сПт(Х) + сНт(У) (подробнее см, упр. II. 5 и 11.6).
Типовой пример: стандартные пространства Кп
Если К — произвольное тело, то декартово произведение Кп допускает две канонические структуры векторного пространства над К: левого и правого, определенных соответственно законами умножения Я(лгь ..., хп) = (Ххи Ьхп) и (хи ..., хп)Х =
*= (а^А,, . . . , Хп'к).
В случае коммутативного К эти две структуры совпадают; их размерности обе равны п.
Можно заметить, что если К—конечное тело (и, следовательно, поле) порядка 6, то мощность множества Кп равна кп (так как каждая из координат х\, Х2у хп пробегает к различных значений).
Далее мы увидим, что всякое левое (соотв. правое) векторное пространство размерности п над К изоморфно Кп> рассматриваемому как левое (соотв. правое) векторное пространство.
Замечание. Векторные пространства, не имеющие конечной размерности, называются бесконечномерными; например, К[Х] бесконечномерно; этому выражению мы не придаем более точного смысла (см. § 9).
4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Понятие линейного отображения немедленно распространяется на случай векторных пространств над произвольным телом; в частности, сохраняется без изменений теория векторных проектирований и сим-
54 ГЛ. ІТ. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
метрий (см. упр. II. 3). Но здесь нам потребуется бо-лее общее понятие.
? Определение 4.1. Пусть ?1 и Е2— левые вектор* ные пространства над телами соответственно К\ и /С2. Отображение /: Е\->Е2 называется полулинейным, если оно удовлетворяет условию
