Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Глава III
СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
НАД ТЕЛОМ
I. ВВЕДЕНИ
Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства1). Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований, и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.
Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем
^ Определение 1.1. Пусть б — некоторая группа (с мультипликативным обозначением операции) и е — ее нейтральный элемент.
Говорят, что в действует слева на множестве X, если определено отображение ф: ОУ^Х-*Ху^у х) н-> 1—^ Ф (ёГ> х)> такое, что набор отображений ф^: Х-*Х> х>—^ф(?, х) удовлетворяет условиям
фе = 1ах и (У(?, /г)е<32) фй°фй = феЛ. ,(1)
Аналогично говорят, что й действует на X справа, если определено отображение я}>: ХХ.С-+Х, (х, ?)<—> I—-ф (л:, ?), такое, что набор отображений Х-+Х, жн-э-ф(л:, ?) удовлетворяет условиям
•фв = Их и (Ч Н) <= в2) я|)г о (Г)
Соотношения (1) (соотв. (1')) показывают, что фг (соотв. фА — это биекции X на X и что фГ1 = ф„_1
V в / в 5
(соотв. г|Г =^-1).
Д) Чтение этого параграфа необязательно для понимания дальнейшего.
82 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
-— ---------------------------------????? .. — —? ____________________
Например, любая группа (7 действует сама на себе слева левыми сдвигами: ф^а) = gx и справа правыми сдвигами: фё(х) = х?.
Группа й действует на себе слева также внутрен-ними автоморфизмами: ф?(х) = дхд~1.
Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как дей-ствие слева.
Понятно, что для коммутативной группы (7 оба действия совпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действовать на множестве, в том числе и на себе, разными способами.
Определение 1.2. Пусть группа (7 действует слева на множестве X с законом действия ф. Говорят, что С действует на X транзитивно, если для любой пары (х, у) элементов X существует хотя бы один элемент, б, такой, что у = ф(^, х) = Ф^(х); далее, говорят, что действие (7 просто транзитивно, если этот элемент ц всегда единственный.
Пример. Линейная группа <АС{пу К) автоморфизмов действует транзитивно на Кл\{0}, но это действие не является просто транзитивным, кроме случая /2=1.
Определение 1.3. Пусть группа в действует слева на множестве X. Стабилизатором подмножества А множества X называется множество Ол={?^ еО|Фв(Л) = Л}.
Непосредственно ясно, ЧТО йл — подгруппа группы (7. Если множество А состоит из одного элемента а, то эта подгруппа1) называется группой изотропии элемента а.
Замечание. Стабилизатор йА является пересечением двух множеств Од = е й | ф^ (А) с= Л} и вд = = {ёгеО|ф^(Л)=) Л}={^еО|ф~1(Л)<= Л}, которые не обязаны быть подгруппами в. Например, если
!) В этом случае подгруппа (7 обозначается просто ва и называется также стационарной подгруппой элемента а. -* Прим. перев.
" И. ВВЕДЕНИЕ
83
б = (Р, +) действует на себе трансляциями и А =* — положительная полуось, то Од =13+ не является подгруппой, а вл ={0}. По поводу 6а см. упр. III.1.
Определение 1.4. Пусть б —группа, действующая слева на X; орбитой элемента ае! называется образ й при отображении сра: -^ф(?, а).
Если (7 действует на X транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с X.
Замечание. На X можно определить отношение эквивалентности, полагая у х, если существует элемент такой, что у = фя(*); классы эквивалент-
ности являются орбитами элементов Х\ фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит.
Однородные пространства
Определение 1.5. Однородным пространством, ассоциированным с группой (7, называется множество X, на котором определено транзитивное действие группы й.
Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе *).
Пусть (7 — группа, Н — ее подгруппа, О/Н — фактормножество2), образованное левыми смежными классами относительно Н: элементы х, у из (7 объявляются эквивалентными, если существует элемент ЛеЯ, такой, что у = хк\ класс эквивалентности элемента х есть множество хН элементов вида х!г, где йеЯ,
Действие слева группы в на б/Н определяется с помощью фё(хН) = дхН\ это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество О/Н является однородным пространством относительно этого действия.
!) Это построение использовалось при определении фактор« пространства векторного пространства по его подпространству,
2) Напомним, что в/И допускает естественную структуру группы, если Н — инвариантная подгруппа б,
84 гл. ИГ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА над ТЕЛОМ
Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.
Теорема 1.1. Пусть X — однородное пространство, ассоциированное с группой G, и для любого ае! пусть Ga — группа изотропии а. Тогда существует единственная биекция fa факторпространства G/Ga на X, такая, что для всех g е G выполнено fa °p(g) = = Ф(§>а)> гДе р: G-*G/Ga — каноническая проекция и ф — действие G на X.
